Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(đặt:x^2=t\ge0\)
\(\Rightarrow pt\Leftrightarrow m.t^2-2\left(m-1\right)t+\left(m-1\right)m=0\left(1\right)\)
\(với:m=0\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow-2\left(0-1\right)t=0\Leftrightarrow t=0\Rightarrow x=0\left(tm\right)\)
\(với:m\ne0\) pt đã cho có một nghiệm khi (1) có nghiệm duy nhất bằng 0 hoặc (1) có 1 nghiệm bằng 0 nghiệm còn lại âm
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{2\left(m-1\right)}{m}=0\Leftrightarrow m=1\left(tm\right)\\t1=0=>\left(1\right)\Leftrightarrow\left(m-1\right)m=0\Rightarrow m=0\left(ktm\right);m=1\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
từ 2TH trên \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=1\end{matrix}\right.\) thì pt đã cho có 1 nghiệm
Đặt \(t=3^x,t>0\)
Bất phương trình trở thành :
\(m.t^2+9\left(m-1\right)t+m-1>0\)
\(\Leftrightarrow m\left(t^2+9t+1\right)>9t+1\)
\(\Leftrightarrow m>\frac{9t+1}{t^2+9t+1}\)
Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi :
\(m>max_{t>0}\frac{9t+1}{t^2+9t+1}\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{9t+1}{t^2+9t+1};t>0\)
Ta có : \(f'\left(t\right)=\frac{-9t-2}{\left(t^2+9t+1\right)^2}< 0,t>0\)
đây là hàm nghịch biến suy ra \(f\left(t\right)< f\left(0\right)=1\)
Do đó : \(\frac{9t+1}{t^2+9t+1}< 0,t>0\) nên các giá trị cần tìm là \(m\ge1\)
Do tập nghiệm của BPT là 1 khoảng \(\Rightarrow\Delta=\left(m+4\right)^2-20\left(m-1\right)>0\)
\(\Rightarrow m^2-12m+36=\left(m-6\right)^2>0\Rightarrow m\ne6\)
Khi đó do độ dài của khoảng nghiệm là 10 \(\Rightarrow x_2-x_1=10\)
Kết hợp Viet ta có hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+4\\x_2-x_1=10\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\frac{m-6}{2}\\x_2=\frac{m+14}{2}\end{matrix}\right.\)
Mặt khác theo Viet \(x_1x_2=5\left(m-1\right)\)
\(\Rightarrow\left(\frac{m-6}{2}\right)\left(\frac{m+4}{2}\right)=5\left(m-1\right)\)
\(\Leftrightarrow m^2-22m-4=0\)
\(\Rightarrow m_1+m_2=22\)