Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
dễ cm bđt: x²+y² ≥ (x+y)²/2, khai triễn là ra hằng đẳng đúng, dấu "=" khi x = y
ad: P = (x+1/x)² + (y+1/y)² ≥ [x+1/x + y+1/y]²/2 = [(x+y) + (x+y)/xy]²/2 (*)
bđt côsi: 1 = x+y ≥ 2√(xy) => 1 ≥ 4xy => 1/xy ≥ 4
thay vào (*): P ≥ [1 + 1/xy]²/2 ≥ [1 + 4]²/2 = 25/2 (đpcm), dấu "=" khi x = y = 1/2
Đặt \(P=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
Áp dụng bđt bunhiacopxki ta có:
\(\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\right]\left(1^2+1^2\right)\ge\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)\right]^2\)
\(\Leftrightarrow2P\ge\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\)(1)
Ta có BĐT:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)( bạn tự CM = cách chuyển vế nhé )
Áp dụng bđt cô si cho 2 số dương x,y ta có:
\(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge4\)(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
\(2P\ge25\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{25}{2}\left(đpcm\right)\)
Em chỉ biết chữa lại thôi chứ không biết tìm lỗi sai =_=. Anh/chị thông cảm ạ.
Lời giải:
Lời giải trên chưa chính xác.
*Chữa lại:
\(M=\left(\frac{4}{x}+9x\right)+y-9x\ge12+y-9x\)
\(\ge12+y-9\left(1-\frac{1}{y}\right)=12+y-9+\frac{9}{y}\)
\(=3+\left(y+\frac{9}{y}\right)\ge3+2\sqrt{y.\frac{9}{y}}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=\frac{2}{3};y=3\)
Vậy ....
\(x^4y+x^2y-x^2y=x^2y\left(x^2+1\right)-x^2y.\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{x^2y\left(x^2+1\right)-x^2y}{\left(x^2+1\right)}=x^2y-\frac{x^2y}{\left(x^2+1\right)}\\\frac{y^2z\left(y^2+1\right)-y^2z}{\left(y^2+1\right)}=y^2z-\frac{y^2z}{\left(y^2+1\right)}\\\frac{z^2x\left(z^2+1\right)-z^2x}{\left(z^2+1\right)}=z^2x-\frac{z^2x}{\left(z^2+1\right)}\end{cases}}Vt\ge x^2y+y^2z+z^2x-\left(\frac{x^2y}{x^2+1}+\frac{y^2z}{y^2+1}+\frac{z^2x}{z^2+1}\right)\)
\(\hept{\begin{cases}x^2+1\ge2x\\y^2+1\ge2y\\z^2+1\ge2z\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-\frac{x^2y}{x^2+1}\ge\frac{x^2y}{2x}=\frac{xy}{2}\\\frac{y^2z}{2y}=\frac{yz}{2}\\\frac{z^2x}{2z}=\frac{xz}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}VT\ge x^2y+y^2z+z^2x-\left(\frac{xy+yz+zx}{2}\right)}\)
\(x^2y+y^2z+z^2x\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3\)
\(VT\ge3-\frac{\left(xy+yz+zx\right)}{2}\)
t chỉ làm dc đến đây thôi :))
Từ \(VT\ge x^2y+y^2z+z^2x-\left(\frac{xy+yz+zx}{2}\right)\)ta có:
\(x^2y+x^2y+y^2z=x^2y+x^2y+\frac{y}{x}\ge3xy\)(áp dụng BĐT Cauchy)
Tương tự : \(y^2z+y^2z+z^2x\ge3yz\); \(z^2x+z^2x+x^2y\ge3zx\)
Cộng vế theo vế suy ra : \(3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{xy+yz+zx}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu '=' xảy ra khi x = y = z = 1