K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 4 2020
Ko thể dịch nổi đề câu 1 a;b, chỉ đoán thôi. Còn câu 2 thì thực sự là chẳng hiểu bạn viết cái gì nữa? Chưa bao giờ thấy kí hiệu tích phân đi kèm kiểu đó
Câu 1:
a/ \(\int\frac{2x+4}{x^2+4x-5}dx=\int\frac{d\left(x^2+4x-5\right)}{x^2+4x-5}=ln\left|x^2+4x-5\right|+C\)
b/ \(\int\frac{1}{x.lnx}dx\)
Đặt \(t=lnx\Rightarrow dt=\frac{dx}{x}\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{dt}{t}=ln\left|t\right|+C=ln\left|lnx\right|+C\)
c/ \(I=\int x.sin\frac{x}{2}dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=sin\frac{x}{2}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=-2cos\frac{x}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=-2x.cos\frac{x}{2}+2\int cos\frac{x}{2}dx=-2x.cos\frac{x}{2}+4sin\frac{x}{2}+C\)
d/ Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=ln\left(2x\right)\\dv=x^3dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{2dx}{2x}=\frac{dx}{x}\\v=\frac{1}{4}x^4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\frac{1}{4}x^4.ln\left(2x\right)-\frac{1}{4}\int x^3dx=\frac{1}{4}x^4.ln\left(2x\right)-\frac{1}{16}x^4+C\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 12 2016
a)\(\int \sin ^2\left (\frac{x}{2}\right)dx=\int \frac{1-\cos x }{2}dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin x}{2}+c\)
b)\(\int \cos ^2 \left (\frac{x}{2}\right)dx=\int \frac{1+\cos x}{2}dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin x}{2}+c\)
c) \(\int \frac{(2x+1)dx}{x^2+x+5}=\int \frac{d(x^2+x+5)}{x^2+x+5}=ln(x^2+x+5)+c\)
d)\(\int (2\tan x+ \cot x)^2dx=4\int \tan ^2 x+\int \cot^2 x+4\int dx=4\int \frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}dx+\int \frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}dx+4\int dx \)\( =4\int d(\tan x)-\int d(\cot x)-\int dx=4\tan x-\cot x-x+c\)
NT
1
23 tháng 1 2016
Thực hiện theo các bước sau :
Bước 1 : Biến đổi :
\(a_1\sin x+b_1\cos x=A\left(a_2\sin x+b_2\cos x\right)+B\left(a_2\cos x-b_2\sin x\right)\)
Bước 2 : Khi đó :
\(I=\int\frac{A\left(a_2\sin x+b_2\cos x\right)+B\left(a_2\cos x-b_2\sin x\right)}{\left(a_2\sin x+b_2\cos x\right)^2}dx=A\int\frac{dx}{a_2\cos x+b_2\sin x}+B\int\frac{\left(a_2\cos x+b_2\sin x\right)dx}{\left(a_2\cos x+b_2\sin x\right)^2}\)
\(=\frac{A}{\sqrt{a^2_2+b^2_2}}\int\frac{dx}{\sin\left(x+\alpha\right)}-B\int\frac{1}{a_2\sin x+b_2\cos x}dx=\frac{A}{\sqrt{a^2_2+b^2_2}}\ln\left|\tan\left(\frac{x+\alpha}{2}\right)\right|-\frac{B}{a_2\cos x+b_2\sin x}+C\)
Trong đó : \(\sin\alpha=\frac{b_2}{\sqrt{a^2_2+b^2_2}_{ }};\cos\alpha=\frac{a_2}{\sqrt{a^2_2+b^2_2}}\)
25 tháng 12 2016
1) Đặt \(t=1+\sqrt{x-1}\Leftrightarrow x=\left(t-1\right)^2+1\forall t\ge1\Rightarrow dx=d\left(t-1\right)^2=2dt\)
\(\Rightarrow I_1=\int\frac{\left(t-1\right)^2+1}{t}\cdot2dt=2\int\frac{t^2-2t+2}{t}dt=2\int\left(t-2+\frac{2}{t}\right)dt\\ =t^2-4t+4lnt+C\)
Thay x vào ta có...
25 tháng 12 2016
2) \(I_2=\int\frac{2sinx\cdot cosx}{cos^3x-\left(1-cos^2x\right)-1}dx=\int\frac{-2cosx\cdot d\left(cosx\right)}{cos^3x+cos^2x-2}=\int\frac{-2t\cdot dt}{t^3+t-2}\)
\(I_2=\int\frac{-2t}{\left(t-1\right)\left(t^2+2t+2\right)}dt=-\frac{2}{5}\int\frac{dt}{t-1}+\frac{1}{5}\int\frac{2t+2}{t^2+2t+2}dt-\frac{6}{5}\int\frac{dt}{\left(t+1\right)^2+1}\)
Ta có:
\(\int\frac{2t+2}{t^2+2t+2}dt=\int\frac{d\left(t^2+2t+2\right)}{t^2+2t+2}=ln\left(t^2+2t+2\right)+C\)
\(\int\frac{dt}{\left(t+1\right)^2+1}=\int\frac{\frac{1}{cos^2m}}{tan^2m+1}dm=\int dm=m+C=arctan\left(t+1\right)+C\)
Thay x vào, ta có....
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 12 2017
1)
Ta có \(P_1=\int \frac{\cos xdx}{2\sin x-7}=\int \frac{d(\sin x)}{3\sin x-7}\)
Đặt \(\sin x=t\Rightarrow P_1=\int \frac{dt}{3t-7}=\frac{1}{3}\int \frac{d(3t-7)}{3t-7}=\frac{1}{3}\ln |3t-7|+c\)
\(=\frac{1}{3}\ln |3\sin x-7|+c\)
2)
\(P_2=\int \sin xe^{2\cos x+3}dx\)
Đặt \(\cos x=t\)
\(P_2=-\int e^{2\cos x+3}d(\cos x)=-\int e^{2t+3}dt\)
\(=-\frac{1}{2}\int e^{2t+3}d(2t+3)=\frac{-1}{2}e^{2t+3}+c\)
\(=\frac{-e^{2\cos x+3}}{2}+c\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 12 2017
3)
\(P_3=\int \frac{\sin x+x\cos x}{(x\sin x)^2}dx\)
Để ý rằng \((x\sin x)'=x'\sin x+x(\sin x)'=\sin x+x\cos x\)
Do đó: \(d(x\sin x)=(x\sin x)'dx=(\sin x+x\cos x)dx\)
Suy ra \(P_3=\int \frac{d(x\sin x)}{(x\sin x)^2}\)
Đặt \(x\sin x=t\Rightarrow P_3=\int \frac{dt}{t^2}=\frac{-1}{t}+c=\frac{-1}{x\sin x}+c\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 2 2018
Lời giải:
Ta có:
\(A=\int \frac{x\sin x+\cos x}{x^2-\cos ^2x}dx=\int \frac{(\cos x-x)+x(\sin x+1)}{x^2-\cos ^2x}dx\)
\(=-\int \frac{dx}{\cos x+x}+\int \frac{x(\sin x+1)}{x^2-\cos ^2x}dx=-\int \frac{dx}{x+\cos x}+\frac{1}{2}\int (\sin x+1)\left(\frac{1}{x-\cos x}+\frac{1}{x+\cos x}\right)dx\)
\(=-\int \frac{dx}{x+\cos x}+\frac{1}{2}\int (\sin x+1)\frac{dx}{x-\cos x}+\frac{1}{2}\int (\sin x-1)\frac{dx}{x+\cos x}+\int \frac{dx}{x+\cos x}\)
\(=\frac{1}{2}\int (\sin x+1)\frac{dx}{x-\cos x}+\frac{1}{2}\int (\sin x-1)\frac{dx}{x+\cos x}\)
\(=\frac{1}{2}\int \frac{d(x-\cos x)}{x-\cos x}+\frac{1}{2}\int \frac{-d(x+\cos x)}{x+\cos x}\)
\(=\frac{1}{2}\ln |x-\cos x|-\frac{1}{2}\ln |x+\cos x|+c\)
Xét biểu thức $B$
\(B=\int \frac{\ln x-1}{x^2-\ln ^2x}dx=\int \frac{(\ln x-x)+(x-1)}{x^2-\ln ^2x}dx\)
\(=-\int \frac{dx}{x+\ln x}+\int \frac{x-1}{x^2-\ln ^2x}dx=-\int \frac{dx}{x+\ln x}+\frac{1}{2}\int \frac{(x-1)}{x}\left(\frac{1}{x-\ln x}+\frac{1}{x+\ln x}\right)dx\)
\(=-\int \frac{dx}{x+\ln x}+\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-\ln x}.\frac{x-1}{x}dx+\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+\ln x}.\frac{x-1}{x}dx\)
\(=-\int \frac{dx}{x+\ln x}+\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-\ln x}.\frac{x-1}{x}dx-\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+\ln x}.\frac{1+x}{x}dx+\int \frac{dx}{x+\ln x}\)
\(=\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-\ln x}.\frac{x-1}{x}dx-\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+\ln x}.\frac{1+x}{x}dx\)
\(=\frac{1}{2}\int \frac{d(x-\ln x)}{x-\ln x}-\frac{1}{2}\int \frac{d(x+\ln x)}{x+\ln x}\)
\(=\frac{1}{2}\ln |x-\ln x|-\frac{1}{2}\ln |x+\ln x|+c\)
Giải như sau:
Do \(\cos^2x+\sin^2x=1,\left(\tan x\right)'=\frac{1}{\cos^2x},\left(\cot x\right)'=-\frac{1}{\sin^2x}\) nên ta có
\(\int\frac{dx}{\cos^2x.sin^2x}=\int\left(\frac{1}{\cos^2x}+\frac{1}{\sin^2x}\right)dx=\int d\left(\tan x\right)-\int d\left(\cot x\right)=\tan x-\cot x+c\)
cảm ơn bạn nhé :))