Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\left(\sqrt[6]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\right)\)
\(=\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\left(\sqrt[6]{\left(2^2+2.2\sqrt{5}+\sqrt{5^2}\right)}+\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\right)\)
\(=\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\left(\sqrt[6]{\left(2+\sqrt{5}\right)^2}+\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\right)\)
\(=2\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}.\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=2\sqrt[3]{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}=2\sqrt[3]{4-5}=2\sqrt[3]{-1}=-1.2=-2\)
Tính giá trị của biểu thức: \(Q=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+\sqrt{9}}}}}\) (có 2018 dấu căn)
\(Q=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+\sqrt{9}}}}}\)
Có \(\sqrt{6+\sqrt{9}}=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3\)
=> \(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{9}}}=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3\)
=> \(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{9}}}}=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3\)
...........
=> \(Q=\sqrt{6+\sqrt{6+..........+\sqrt{6+\sqrt{9}}}}=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3\)
Vậy Q=3
Em thử nhá, ko chắc đâu ạ. Em chỉ làm đc một cái thôi
Gọi biểu thức trên là A
*Chứng minh A > 1/6
Đặt \(x=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}}\left(\text{n dấu căn}\right)\)
Thì \(x=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}}< \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{9}}}}=\sqrt{6+3}=3\) (1)
Và \(x^2-6=\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}\left(\text{n -1 dấu căn}\right)\)
Biểu thức trở thành \(A=\frac{3-x}{9-x^2}=\frac{1}{3+x}\). Từ (1) suy ra \(A>\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}\)(*)
@Ta chứng minh \(2,5<\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}\)\(<3\) bằng quy nạp.
+Với n = 1, 2, 3 thì điều trên đúng.
+Giả sử điều trên đúng với n = k ( k≥1 ), tức là \(2,5<\sqrt{6+\sqrt{6+...}}\)\(<3\) với k dấu căn.
+Ta chứng minh điều đó đúng với n = k+1 tức là \(2,5<\sqrt{6+\sqrt{6+...}}\)\(<3\) với k+1 dấu căn
Thật vậy, ta có: \(2,5<\sqrt{6+\sqrt{6+...}}\text{(k dấu căn) }<3\)
\(\Rightarrow8,5<6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}\text{ (k dấu căn) }<9\)
\(\Rightarrow\sqrt{8,5}<\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}\text{ (k+1 dấu căn)}<3\)
\(\Rightarrow2,5<\sqrt{6+\sqrt{6+..}}\left(k+1\text{ dấu căn}\right)<3\)
Vậy \(2,5<\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{...}}}<3\)
@Chứng minh tương tự ta cũng có: \(1,5<\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{...}}}<2\)
Vậy \(2,5+1,5<\)\(\sqrt{...}+\sqrt[3]{...}<3+2\)
\(\Rightarrow4<\)\(\sqrt{...}+\sqrt[3]{....}<\)\(5\)
Vậy phần nguyên là 4.
\(P=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\frac{4-6\sqrt{a}}{1-a}-\frac{-3}{\sqrt{a}+1}\)
ĐK : \(\hept{\begin{cases}a\ge0\\a\ne1\end{cases}}\)
a) \(P=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}+\frac{4-6\sqrt{a}}{a-1}+\frac{3}{\sqrt{a}+1}\)
\(=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}+\frac{4-6\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}+\frac{3}{\sqrt{a}+1}\)
\(=\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}+\frac{4-6\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}+\frac{3\left(\sqrt{a}-1\right)}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\)
\(=\frac{a+\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}+\frac{4-6\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}+\frac{3\sqrt{a}-3}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\)
\(=\frac{a+\sqrt{a}+4-6\sqrt{a}+3\sqrt{a}-3}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\)
\(=\frac{a-2\sqrt{a}+1}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}=\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}\)
Với \(a=4-2\sqrt{3}\)( tmđk \(\hept{\begin{cases}a\ge0\\a\ne1\end{cases}}\))
\(P=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}-1}{\sqrt{4-2\sqrt{3}}+1}\)
\(=\frac{\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}-1}{\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}+1}\)
\(=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2-2\sqrt{3}+1^2}-1}{\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2-2\sqrt{3}+1^2}+1}\)
\(=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}-1}{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}+1}\)
\(=\frac{\left|\sqrt{3}-1\right|-1}{\left|\sqrt{3}-1\right|+1}\)
\(=\frac{\sqrt{3}-1-1}{\sqrt{3}-1+1}=\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}}\)
b) \(P=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}=\frac{\sqrt{a}+1-2}{\sqrt{a}+1}=1-\frac{2}{\sqrt{a}+1}\)( ĐK \(\hept{\begin{cases}a\ge0\\a\ne1\end{cases}}\))
Để P đạt giá trị nguyên => \(\frac{2}{\sqrt{a}+1}\)nguyên
=> \(2⋮\sqrt{a}+1\)
=> \(\sqrt{a}+1\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\)
=> \(\sqrt{a}\in\left\{0;1\right\}\)< đã loại hai trường hợp âm >
=> \(a\in\left\{0\right\}\)< loại trường hợp a = 1 >
Vậy với a = 0 thì P có giá trị nguyên