4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DT
1
X
24 tháng 3 2019
Ta có : \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)=-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Ta lại có : \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow-\left(a^2+b^2+c^2\right)\le0\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\le0\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le0\left(2>0\right)\)
\(\Rightarrowđpcm\)
NL
0
22 tháng 2 2019
Ta có:
0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1; và a, b, c ≥ 0
=> a - 1 ≤ 0 ; b - 1 ≤ 0
=> ( a - 1 )( b - 1 ) ≥ 0
=> ab - a - b + 1 ≥ 0
=> ab + 1 ≥ a + b
=>\(\frac{1}{ab+1}\le\frac{1}{a+b}\) => \(\frac{c}{ab+1}\le\frac{c}{a+b}\) (1)
Chứng Minh Tương Tự: => \(\frac{a}{bc+1}\le\frac{a}{a+b}\) (2)
và \(\frac{b}{ac+1}\le\frac{b}{a+c}\) (3)
Từ (1); (2) và (3) =>
\(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)\(\le\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\)
=> \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)( ĐPCM )
DD
2
25 tháng 12 2016
Ta có \(a+b+c=0\)
\(=>a=-b-c\)
Ta có \(ab+bc+ac\le0\)
\(=>\left(-b-c\right)b+bc+\left(-b-c\right)c\le0\)
\(=>-b^2-bc+bc-bc-c^2\le0\)
\(=>-b^2-bc-c^2\le0\)
\(=>-\left(b^2+bc+c^2\right)\le0\)(ĐPCM)
TK
3
12 tháng 3 2017
Ta có : \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac=-\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Vì \(a^2+b^2+c^2\ge0\) \(\forall a;b;c\)
\(\Rightarrow-\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\le0\) \(\forall a;b;c\)
Hay \(ab+bc+ac\le0\) (đpcm)
PT
13
WR
7 tháng 2 2016
(a+b)(b+c)(c+a) +abc= (a+b).(b.c + b.a + c.c + c.a) +abc
= (a+b).(a.b + b.c + c.a) + (a+b).(c.c) +abc
= (a+b+c).(a.b + b.c + c.a) - c.(a.b + b.c + c.a) + (a+b).(c.c) +abc
= (a+b+c).(a.b + b.c + c.a) - a.b.c - b.c.c - c.c.a + a.c.c + b.c.c +abc
= (a+b+c).(a.b + b.c + c.a) - a.b.c+abc
=(a+b+c)0+0=0
Ta có: a + b + c = 0.
=> a = - b - c
b = -a - c
c = - a- b.
Nên ta có:
ab + bc + ca = (-b-c)b + (-a-c)c + (-a-b)a
= -b^2 - bc - ca -c^2 - a^2 - ab
= -( a^2 + b^2 + c^2)- (ab + bc + ca)
=> 2(ab + bc + ca) = -(a^2 + b^2 +c^2)
Mà -(a^2 + b^2 + c^2) bé hơn hoặc bằng 0 (do a^2 + b^2 + c^2 lớn hơn hoặc bằng 0)
=> 2(ab + bc + ca ) bé hơn hoặc bằng 0.
=> ab + bc + ca bé hơn hoặc bằng 0.
Vậy ab + bc + ca bé hơn hoặc bằng 0.
Ta có:
\(\Rightarrow a\left(a+b+c\right)=b\left(a+b+c\right)=c\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow a^2+ab+ac=ab+b^2+bc=ca+cb+c^2=0\)
\(\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)+\left(a^2+b^2+c^2\right)=0\)
Do \(a^2+b^2+c^2\ge0\Rightarrow ab+bc+ca\le0^{đpcm}\)