\(\dfrac{a}{1+b-a}+\dfrac{b}{1+c-b}+\dfr...">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

12 tháng 3 2021

Bài này anh Lâm làm rồi mà

12 tháng 3 2021

Sigma CTV, mk ko hiểu lắm. Bn có thể giải ra chi tiết theo cách lp 8 cho mk dễ hiểu đc ko?? Cám ơn bn rất nhiều

NV
12 tháng 3 2021

\(VT=\dfrac{a}{2b+c}+\dfrac{b}{2c+a}+\dfrac{c}{2a+b}\)

\(VT=\dfrac{a^2}{2ab+ac}+\dfrac{b^2}{2bc+ab}+\dfrac{c^2}{2ac+bc}\)

\(VT\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{3\left(ab+bc+ca\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

12 tháng 3 2021

Này Nguyễn Việt Lâm Giáo viên, cái dòng số 3 là sao vậy? Bn có thể giải thích rõ dc ko??

25 tháng 8 2017

Với mọi a , b , c \(\in\)R ta luôn có :

\(a^2\)+   \(b^2\)+   \(c^2\)> hoặc = \(2bc+2ca-2ab\left(1\right)\)

Ta cần chứng minh ( 1 ) là bất đẳng thức đúng

\(\Leftrightarrow\)\(a^2\)+   \(b^2\)+   \(c^2\)+ 2ab - 2bc - 2ca > hoặc = 0

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b-c\right)^2\) > hoặc = 0 ( 2 )

Bất đẳng thức ( 2 ) luôn đúng với mọi a ; b ; c mà các phép biến đổi trên tương ứng

Nên bất đẳng thức ( 1 ) được chứng minh

Xảy ra khi và chỉ khi a + b = c

Mà   \(a^2\)+   \(b^2\)+   \(c^2\)=   \(\frac{5}{3}\)( gt )

Mà   \(\frac{5}{3}\)=   \(1\frac{2}{3}\)< 2  ( 3 )

Từ ( 1 ) kết hợp với ( 3 ) ta có thể viết :

2bc + 2ca - 2ab < hoặc =    \(a^2\)+   \(b^2\)+   \(c^2\)< 2

\(\Rightarrow\)2bc + 2ca - 2ab < 2

Vì a ; b ; c > 0 nên chia cả 2 vế của bđt cho 2abc

\(\frac{2bc+2ca-2ab}{2abc}< \frac{2}{2abc}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)

Vậy với a ; b ; c là các số dương thỏa mãn điều kiện :   \(a^2\)+   \(b^2\)+   \(c^2\)=   \(\frac{5}{3}\)thì ta luôn chứng minh được :

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)

25 tháng 8 2017

đm làm mỏi tay :v thấy đúng thì ..................
 

AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 12 2017

Lời giải:

Đặt biểu thức vế trái là A

Có \(a+\frac{1}{a+1}=\frac{a^2+a+1}{a+1}=\frac{a^2}{a+1}+1=\frac{a^2}{a+1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(a+\frac{1}{a+1}\geq \frac{(a+1+1)^2}{a+1+2+2}=\frac{(a+2)^2}{a+5}\)

Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại và nhân theo vế:

\(\Rightarrow A\geq \frac{(a+2)^2(b+2)^2(c+2)^2}{(a+5)(b+5)(c+5)}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\((a+2)(b+2)(c+2)\geq 3\sqrt[3]{a}.3\sqrt[3]{b}.3\sqrt[3]{c}=27\sqrt[3]{abc}\geq 27\)

\(\Rightarrow A\geq \frac{27(a+2)(b+2)(c+2)}{(a+5)(b+5)(c+5)}\) (1)

Ta sẽ cm

\(\frac{27(a+2)(b+2)(c+2)}{(a+5)(b+5)(c+5)}\geq \frac{27}{8}(*)\Leftrightarrow 8(a+2)(b+2)(c+2)\geq (a+5)(b+5)(c+5)\)

\(\Leftrightarrow 8[abc+8+2(ab+bc+ac)+4(a+b+c)]\geq abc+125+5(ab+bc+ac)+25(a+b+c)\)

\(\Leftrightarrow 7abc+11(ab+bc+ac)+7(a+b+c)\geq 61\)

BĐT trên luôn đúng theo AM_GM:

\(7abc+11(ab+bc+ac)+7(a+b+c)\geq 7abc+33\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+21\sqrt[3]{abc}\geq 7+33+21=61\)

Do đó (*) đúng.

Từ \((1);(2)\Rightarrow A\geq \frac{27}{8}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

8 tháng 12 2018

Câu hỏi t/tự

25 tháng 8 2017

\(a^2+b^2+c^2=\dfrac{5}{3}< 2\)

\(a^2+b^2+c^2\ge2bc+2ac-2ab\)

Do đó : \(2bc+2ac-2ab< 2\)

Chia cả hai vế cho 2abc ta được

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}< \dfrac{1}{abc}\) (đpcm)

9 tháng 4 2018

a)\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

=\(\dfrac{a}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}\)

=\(1+1+1+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right)\)

=3+\(\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)

áp dụng BĐT cô si ta có

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}\)

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)

cmtt ta có \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\ge2\); \(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\)

=> 3+\(\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\ge9\)

=> \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\left(đpcm\right)\)

a)Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số không âm ta có:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

TT\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)

Nhân vế theo vế ta có:\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=9\left(đpcm\right)\)

b)\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)

\(=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ba}+\dfrac{c^2}{ca+cb}\)

Svac-xo:

\(\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ba}+\dfrac{c^2}{ca+cb}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

Lại có:\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(tự cm)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ba}+\dfrac{c^2}{ca+cb}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

3 tháng 11 2017

hí...hí...CTV....mk làm đc bn cho mk 5GP nha

3 tháng 11 2017

\(\dfrac{1}{6a+1}+\dfrac{\dfrac{4}{49}}{2}\ge\dfrac{\left(1+\dfrac{2}{7}\right)^2}{3\left(2a+1\right)}\)

11 tháng 9 2017

câu này bỏ qua nha :V