Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{a(b+c)}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{a^3(b+c)}.\frac{a(b+c)}{4}}=2\sqrt{\frac{1}{4a^2}}=\frac{1}{a}=\frac{abc}{a}=bc\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{b(c+a)}{4}\geq \frac{1}{b}=ac\)
\(\frac{1}{c^3(a+b)}+\frac{c(a+b)}{4}\geq \frac{1}{c}=ab\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \text{VT}+\frac{ab+bc+ac}{2}\geq ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{ab+bc+ac}{2}\)
Tiếp tục áp dụng AM-GM: \(ab+bc+ac\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\)
\(\Rightarrow \text{VT}\ge \frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Lời giải:
Đặt vế trái là $A$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)(a+b+b+c+c+c)\geq (1+1+1+1+1+1)^2\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\geq \frac{36}{a+2b+3c}\)
Hoàn toàn TT:
\(\frac{1}{b}+\frac{2}{c}+\frac{3}{a}\geq \frac{36}{b+2c+3a}\)
\(\frac{1}{c}+\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\geq \frac{36}{c+2a+3b}\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow 6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq 36A\)
\(\Rightarrow A\leq \frac{1}{6}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Theo đkđb: \(ab+bc+ac=abc\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Do đó: \(A\leq \frac{1}{6}< \frac{3}{16}\) (đpcm)
Đặt \(\left(a^{\dfrac{1}{3}};b^{\dfrac{1}{3}};c^{\dfrac{1}{3}}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\xyz=1\\\left(a^3;b^3;c^3\right)\rightarrow\left(x^9;y^9;z^9\right)\end{matrix}\right.\)
\(BDT\Leftrightarrow\dfrac{1}{2x^9+3x^3+2}+\dfrac{1}{2y^9+3y^3+2}+\dfrac{1}{2z^9+3z^3+2}\ge\dfrac{3}{7}\)
Ta có BĐT: \(\dfrac{1}{2x^9+3x^3+2}\ge\dfrac{3}{7\left(x^{12}+x^6+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(7x^9+x^6+8x^3-1\right)}{7\left(x^6-x^3+1\right)\left(x^6+x^3+1\right)\left(2x^9+3x^3+2\right)}\ge0\) *Đúng*
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT\ge\dfrac{3}{7}\left(\dfrac{1}{x^{12}+x^6+1}+\dfrac{1}{y^{12}+y^6+1}+\dfrac{1}{z^{12}+z^6+1}\right)\)
Cần chứng minh \(\dfrac{1}{x^{12}+x^6+1}+\dfrac{1}{y^{12}+y^6+1}+\dfrac{1}{z^{12}+z^6+1}\ge1\)
Đặt tiếp \(\left(x^6;y^6;z^6\right)\rightarrow\left(n;h;t\right)\) thì có:
\(\dfrac{1}{n^2+n+1}+\dfrac{1}{h^2+h+1}+\dfrac{1}{t^2+t+1}\ge1\forall nht=1;n,h,t>0\)
Cái này đã làm rồi Here - còn tại sao lại đặt và có BĐT phụ như vậy thì ko nói nhé :)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}=\frac{a^3}{2b+3c}+\frac{b^3}{2c+3a}+\frac{c^3}{2a+3b}=\frac{a^4}{2ab+3ac}+\frac{b^4}{2bc+3ba}+\frac{c^4}{2ac+3bc}\)
\(\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2ab+3ac+2bc+3ba+2ac+3bc}=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{5(ab+bc+ac)}\)
Theo hệ quả của BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ac)}{5(ab+bc+ac)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{5}\)
Ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
Câu hỏi của Phác Chí Mẫn - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Lời giải:
Ta có:
\(\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow a^8+b^8+c^8\geq a^2b^2c^2(ab+bc+ac)(*)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\left\{\begin{matrix} a^8+b^8\geq 2a^4b^4\\ b^8+c^8\geq 2b^4c^4\\ c^8+a^8\geq 2c^4a^4\end{matrix}\right.\Rightarrow a^8+b^8+c^8\geq a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\)
Tiếp tục áp dụng AM-GM:
\(a^8+b^8+a^4b^4+c^8\geq 4\sqrt[4]{a^{12}b^{12}c^8}=4a^3b^3c^2\)
\(b^8+c^8+b^4c^4+a^8\geq 4b^3c^3a^2\)
\(c^8+a^8+c^4a^4+b^8\geq 4c^3a^3b^2\)
Cộng lại: \(3(a^8+b^8+c^8)+(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4)\geq 4a^2b^2c^2(ab+bc+ca)\)
Mà \(a^8+b^8+c^8\geq a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\Rightarrow 4(a^8+b^8+c^8)\geq 4a^2b^2c^2(ab+bc+ac)\)
hay \(a^8+b^8+c^8\geq a^2b^2c^2(ab+bc+ac)\Rightarrow (*)\) đúng
Ta có đpcm.