K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

4 tháng 4 2020

bài này chắc có câu a đúng ko

ta có \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=\frac{a}{c}=\frac{c}{b}=\frac{b}{a}\)

\(\Leftrightarrow a^4c^2+b^4a^2+c^4b^2=abc\left(a^2c+c^2a+b^2c\right)\)

đặt \(x=a^2c;y=b^2a;z=c^2b\)ta được

\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\)

áp dụng kết quả của câu a ta đc

\(\left(x-y\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-x\right)^2=0=>x=y=z\)

\(=>a^2c=b^2a=c^2b=>ac=b^2;bc=a^2;ab=c^2\)

=>a=b=c(dpcm)

4 tháng 4 2020

\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\)

Đặt \(\frac{a}{b}=x;\frac{b}{c}=y;\frac{c}{a}=z\)

Khi đó:\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)=2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+yz+zx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)

Mà \(\left(x-y\right)^2\ge0;\left(y-z\right)^2\ge0;\left(z-x\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra tại x=y=z hay a=b=c

Suy ra điều fải chứng minh

17 tháng 11 2019

\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}\)

\(=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{cb+ba}+\frac{c^4}{ac+bc}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

Mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrowđpcm\)

17 tháng 11 2019

\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{a^3}{b+c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{b+c}.\frac{a^3}{b+c}.\frac{\left(b+c\right)^2}{8}}=\frac{3a^2}{2}\)

Rồi tương tự các kiểu:v

Suy ra \(2VT\ge\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2}{8}\)

\(\ge\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\left(a^2+b^2+c^2\right)\) (chú ý \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\))

Không phải dùng tới Cauchy-Schwarz:D

27 tháng 7 2020

a) Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có :

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

Tương tự :

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)

Cộng theo vế :

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c 

27 tháng 7 2020

b ) Dùng BĐT Bunhiacopski 

2 tháng 4 2020

a, đkxđ:x# 2 ,  x# -2

b, 

     A  =   \(\frac{x+1}{x-2}\)=0

<=>      x + 1 = 0

<=>      x = -1

c,B=\(\frac{x2}{x^2-4}\)

Mà x= \(-\frac{1}{2}\)

<=> \(\frac{1}{4}:\left(\frac{1}{4}-4\right)\)

<=>\(\frac{1}{4}:\frac{-15}{4}\)

<=>\(\frac{1}{4}.\frac{4}{-15}\)

<=>\(\frac{-1}{15}\)

d, \(A-B=\frac{x+1}{x-2}-\frac{x^2}{x^2-4}\)

                \(=\frac{\left(x+1\right)\left(x+2\right)-x^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

                \(=\frac{x^2+3x+2-x^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

                \(=\frac{3x+2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

4 tháng 2 2016

ta có a/b+c+b/a+c+c/a+b=1

=> (a+b+c)(a/b+c+b/a+c+c/a+b)=a+b+c

=> a^2/b+c+ab/a+c+ac/a+b+ba/b+c+b^2/a+c+bc/a+b+ca/b+c+bc/a+c+c^2/a+b=a+b+c

=> a^2/b+c+(ba/b+c+ca/b+c)+b^2/a+c+(ab/a+c+bc/a+c)+c^2/a+b+(ac/a+b+bc/a+b)=a+b+c

=>( a^2/b+c)+a+(b^2/a+c)+b+(c^2/a+b)+c=a+b+c

=> a^2/b+c+b^2/a+c+c^2/a+b=0 

9 tháng 4 2018

a, Áp dụng \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

Áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\forall x,y>0\)

Ta có: \(A=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{\left(2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(2+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(2+4\right)^2}{2}=18\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

b, Áp dụng \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

Áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\forall x,y,z>0\)

Ta có: \(B=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2+\left(1+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{\left(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\ge\frac{\left(3+\frac{9}{a+b+c}\right)^2}{3}\ge\frac{\left(3+6\right)^2}{3}=27\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

* Các BĐT phụ bạn tự CM nha! Chúc bạn học tốt

10 tháng 4 2018

Camon bạn!!! Nhưng bạn đọc sai đề r !! ^.^