Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án A
Phương pháp.
Giả sử 
Giả phương trình ban đầu để tìm được nghiệm
z
1
,
z
2
Sử dụng giả thiết để đánh giá cho cho b. Đưa 
về một hàm cho b và sử dụng ước lượng cho b ở phần trước để tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Lời giải chi tiết.
Tính toán ta tìm được hai nghiệm 
Giả sử 
. Từ 
ta suy ra
Áp dụng (1) ta nhận được
Do đó giá trị nhỏ nhất của 
là
2016
-
1
Đạt được khi và chỉ khi 
Đáp án A
Phương trình 
Ta có 
Vật giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 
Câu 1:
Gọi \(A\left(1;-1\right)\) và \(B\left(2;3\right)\Rightarrow\) tập hợp \(z\) thoả mãn điều kiện đề bài là đường trung trực d của đoạn AB, ta dễ dàng viết được phương trình d có dạng \(4x-y-5=0\)
Gọi \(M\left(-2;-1\right)\) và \(N\left(3;-2\right)\) và \(I\left(a;b\right)\) là điểm bất kì biểu diễn \(z\Rightarrow I\in d\) \(\Rightarrow P=IM+IN\). Bài toán trở thành dạng cực trị hình học phẳng quen thuộc: cho đường thẳng d và 2 điểm M, N cố định, tìm I thuộc d để \(P=IM+IN\) đạt GTNN
Thay toạ độ M, N vào pt d ta được 2 giá trị trái dấu \(\Rightarrow M;N\) nằm về 2 phía so với d
Gọi \(C\) là điểm đối xứng M qua d \(\Rightarrow IM+IN=IC+IN\), mà \(IC+IN\ge CN\Rightarrow P_{min}=CN\) khi I, C, N thẳng hàng
Phương trình đường thẳng d' qua M và vuông góc d có dạng:
\(1\left(x+2\right)+4\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x+4y+6=0\)
Gọi D là giao điểm d và d' \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+4y+6=0\\4x-y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(\frac{14}{17};-\frac{29}{17}\right)\)
\(\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow C\left(-2;-1\right)\Rightarrow P_{min}=CN=\sqrt{\left(3+2\right)^2+\left(-2+1\right)^2}=\sqrt{26}\)
Bài 2:
Tập hợp \(z\) là các điểm M thuộc đường tròn (C) tâm \(I\left(0;1\right)\) bán kính \(R=\sqrt{2}\) có phương trình \(x^2+\left(y-1\right)^2=2\)
\(\Rightarrow\left|z\right|=OM\Rightarrow\left|z\right|_{max}\) khi và chỉ khi \(M;I;O\) thẳng hàng và M, O nằm về hai phía so với I
\(\Rightarrow M\) là giao điểm của (C) với Oy \(\Rightarrow M\left(0;1+\sqrt{2}\right)\Rightarrow\) phần ảo của z là \(b=1+\sqrt{2}\)
Câu 3:
\(\overline{z}=\left(i+\sqrt{2}\right)^2\left(1-\sqrt{2}i\right)=5+\sqrt{2}i\)
\(\Rightarrow z=5-\sqrt{2}i\Rightarrow b=-\sqrt{2}\)
Câu 4
\(z.z'=\left(m+3i\right)\left(2-\left(m+1\right)i\right)=2m-\left(m^2+m\right)i+6i+3m+3\)
\(=5m+3-\left(m^2+m-6\right)i\)
Để \(z.z'\) là số thực \(\Leftrightarrow m^2+m-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-3\end{matrix}\right.\)
Câu 5:
\(A\left(-4;0\right);B\left(0;4\right);M\left(x;3\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(4;4\right)\\\overrightarrow{AM}=\left(x+4;3\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A,B,M\) khi và chỉ khi \(\frac{x+4}{4}=\frac{3}{4}\Rightarrow x=-1\)
Câu 6:
\(z=3z_1-2z_2=3\left(1+2i\right)-2\left(2-3i\right)=-1+12i\)
\(\Rightarrow b=12\)
Câu 7:
\(w=\left(1-i\right)^2z\)
Lấy môđun 2 vế:
\(\left|w\right|=\left|\left(1-i\right)^2\right|.\left|z\right|=2m\)
Câu 8:
\(3=\left|z-1+3i\right|=\left|z-1-i+4i\right|\ge\left|\left|z-1-i\right|-\left|4i\right|\right|=\left|\left|z-1-i\right|-4\right|\)
\(\Rightarrow\left|z-1-i\right|\ge-3+4=1\)
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là các hình sau:
a) Ta có x = 1, y tùy ý nên tập hợp các điểm biểu diễn z là đường thẳng x = 1 (hình a)
b) Ta có y = -2, x tùy ý nên tập hợp các điểm biểu diễn z là đường thẳng y = -2 (hình b)
c) Ta có x ∈ [-1, 2] và y ∈ [0, 1] nên tập hợp các điểm biểu diễn z là hình chữ nhật sọc (hình c)
d) Ta có:
|z|≤2⇔√x2+y2≤2⇔x2+y2≤4|z|≤2⇔x2+y2≤2⇔x2+y2≤4
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn z là hình tròn tâm O (gốc tọa độ) bán kính bằng 2 (kể cả các điểm trên đường tròn) (hình d)
Lời giải:
Với PT bậc 2, nếu \(z_1\) là một nghiệm phức thì nghiệm \(z_2\) còn lại chính là số phức liên hợp của \(z_1\). Khi đó áp dụng hệ thức Viete:
\(\left[{}\begin{matrix}W=\dfrac{z_1+2016^{2017}}{z_2+1}=\dfrac{z_1+z_1z_2}{z_2+1}=z_1\\W=\dfrac{z_2+2016^{2017}}{z_1+1}=\dfrac{z_2+z_1z_2}{z_1+1}=z_2\end{matrix}\right.\)
Vì \(z_1,z_2\) là hai số liên hợp của nhau nên có phần thực như nhau. Do đó phần thực của \(W\) chính bằng \(\frac{z_1+z_2}{2}=1\) (theo hệ thức Viete)
Đáp án B
Đặt \(z=x+yi\Rightarrow w=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}-x-yi}=\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}-x+yi}{\left(\sqrt{x^2+y^2}-x\right)^2+y^2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}-x\right)^2+y^2}=\dfrac{1}{8}\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2x^2+2y^2-2x\sqrt{x^2+y^2}}=\dfrac{1}{8}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{\sqrt{x^2+y^2}\left(\sqrt{x^2+y^2}-x\right)}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=16\)
\(\Rightarrow\) Tập hợp \(z_1;z_2\) là đường tròn tâm O bán kính \(R=4\)
Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn \(z_1;z_2\), do \(\left|z_1-z_2\right|=2\Rightarrow MN=2\)
Gọi \(P\left(0;5\right)\) và Q là trung điểm MN
\(\Rightarrow P=MP^2-NP^2=\overrightarrow{MP}^2-\overrightarrow{NP}^2=\left(\overrightarrow{MP}-\overrightarrow{NP}\right)\left(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}\right)\)
\(=2\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{MN}\left(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OQ}\right)=2\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{PO}=2MN.PO.cos\alpha\)
Trong đó \(\alpha\) là góc giữa \(MN;PO\)
Do MN, PO có độ dài cố định \(\Rightarrow P_{max}\) khi \(cos\alpha_{max}\Rightarrow\alpha=0^0\Rightarrow MN||PO\)
Mà MN=2 \(\Rightarrow M\left(\sqrt{15};-1\right);N\left(\sqrt{15};1\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{PM}=\left(\sqrt{15};-6\right)\\\overrightarrow{PN}=\left(\sqrt{15};-4\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P_{max}=PM^2-PN^2=15+36-\left(15+16\right)=20\)
