PT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
QA
4
3 tháng 7 2018
Bài 1 bạn viết rõ yêu cầu của đề ra nhé , mình làm bài 2.
\(a.\left(a-b\right)^2=2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2+2ab-b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=0\)
\(\Leftrightarrow a=-b\left(đpcm\right)\)
\(b.a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)
\(c.\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=3ab+3bc+3ac-2ab-2bc-2ac\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow a=b=c\) ( Kết quả câu b)
HY
1
11 tháng 7 2016
Theo đầu bài ta có:
\(2\left(a+1\right)\left(b+1\right)=\left(a+b\right)\left(a+b+2\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+a+b+1\right)=\left(a^2+ab+2a\right)+\left(ab+b^2+2b\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+a+b\right)+2=\left(a^2+b^2\right)+\left(ab+ab\right)+\left(2a+2b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(2ab+2a+2b\right)+2=\left(2ab+2a+2b\right)+\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2=2\)( đpcm )
T
1 tháng 8 2019
#)Giải :
Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{ab}{c}=x\\\frac{bc}{a}=y\\\frac{ca}{b}=z\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2=xz\\b^2=xy\\c^2=yz\end{cases}}\Rightarrow xy+yz+xz=3}\)
Theo hệ quả của BĐT Cauchy :
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)=9\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge3\) hay \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge3\left(đpcm\right)\)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b = c = 1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 4 2019
a/
Biến đổi tương đương:
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(a^2y+b^2x\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2xy+b^2x^2+a^2y^2+b^2xy\ge a^2xy+b^2xy+2abxy\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT ban đầu đúng (đpcm), dấu "=" xảy ra khi \(ay=bx\)
b/
Mở rộng cho 3 số, ta có \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
Vậy \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) với x, y, z dương
Mặt khác ta luôn có: \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\) \(\forall a,b,c\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2\ge0\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+ac+bc\right)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
Áp dụng:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{\left(a^2\right)^2}{ab}+\frac{\left(b^2\right)^2}{bc}+\frac{\left(c^2\right)^2}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+ac+bc}\ge\frac{\left(ab+ac+bc\right)^2}{ab+ac+bc}=ab+ac+bc\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Dựng hình vuông ABCD có cạnh bằng (a + b )
Trên cạnh AB dựng điểm E sao cho AE = a, EB = b, trên cạnh BC dựng điểm H sao cho BH = b, HC = a, trên cạnh CD dựng điểm G sao cho CG = b, GD = a, trên cạnh DA dựng điểm K sao cho DK = a, KA = b, GE cắt KH tại F.
Ta có : diện tích hình vuông ABCD bằng a + b 2
Diện tích hình vuông DKFG bằng a 2
Diện tích hình chữ nhật AKFE bằng a.b
Diện tích hình vuông EBHF bằng b 2
Diện tích hình chữ nhật HCGF bằng a.b
S A B C D = S D K F G + S A K E F + S E B H F + S H C G F
Vậy ta có : a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2