Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C M N Q P O R S T A B C H M D I A B C D K G M K E P F (Hình a) (Hình b) (Hình c) Q I
Bài toán 1: (Hình a)
Gọi đường thẳng qua N vuông góc với AN cắt AC tại R, qua P kẻ đường thẳng song song với BC. Đường thẳng này cắt AM,AN,BC lần lượt tại S,T,K.
Ta thấy \(\Delta\)APR có AN vừa là đường cao, đường phân giác => \(\Delta\)APR cân tại A => AP = AR, NP = NR
Áp dụng hệ quả ĐL Thales \(\frac{BM}{PS}=\frac{CM}{KS}\left(=\frac{AM}{AS}\right)\)=> PS = KS
Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác: \(\frac{TK}{TP}=\frac{AK}{AP}\Rightarrow\frac{ST+SK}{TP}=\frac{AK}{AR}\)
\(\Rightarrow\frac{2ST+PT}{TP}=\frac{AR+RK}{AR}\Rightarrow\frac{2ST}{TP}=\frac{RK}{AR}\)
Dễ thấy NS là đường trung bình của \(\Delta\)RKP => RK = 2NS. Do đó \(\frac{ST}{TP}=\frac{NS}{AR}\)
Đồng thời NS // AR, suy ra \(\frac{ST}{TP}=\frac{NS}{AR}=\frac{SQ}{QA}\)=> QT // AP (ĐL Thaels đảo)
Mà AP vuông góc PO nên QT vuông góc PO. Từ đây suy ra T là trực tâm của \(\Delta\)POQ
=> QO vuông góc PT. Lại có PT // BC nên QO vuông góc BC (đpcm).
Bài toán 2: (Hình b)
Ta có IB = IC => \(\Delta\)BIC cân tại I => ^IBC = ^ICB = ^ACB/2 => \(\Delta\)MCI ~ \(\Delta\)MBC (g.g)
=> MC2 = MI.MB. Xét \(\Delta\)AHC có ^AHC = 900 , trung tuyến HM => HM = MC
Do đó MH2 = MI.MB => \(\Delta\)MIH ~ \(\Delta\)MHB (c.g.c) => ^MHI = ^MBH = ^MBC = ^MCI
=> Tứ giác CHIM nội tiếp. Mà CI là phân giác ^MCH nên (IH = (IM hay IM = IH (đpcm).
Bài toán 3: (Hình c)
a) Gọi đường thẳng qua C vuông góc CB cắt MK tại F, DE cắt BC tại Q, CG cắt BD tại I.
Áp dụng ĐL Melelaus:\(\frac{MB}{MC}.\frac{GA}{GB}.\frac{DC}{DA}=1\)suy ra \(\frac{DC}{DA}=2\)=> A là trung điểm DC
Khi đó G là trọng tâm của \(\Delta\)BCD. Do CG cắt BD tại I nên I là trung điểm BD
Dễ thấy \(\Delta\)BCD vuông cân tại B => BI = CM (=BC/2). Từ đó \(\Delta\)IBC = \(\Delta\)MCF (g.c.g)
=> CB = CF => \(\Delta\)BCF vuông cân ở C => ^CBA = ^CBF (=450) => B,A,F thẳng hàng
=> CA vuông góc GF. Từ đó K là trực tâm của \(\Delta\)CGF => GK vuông góc CF => GK // CM
Theo bổ đề hình thang thì P,Q lần lượt là trung điểm GK,CM. Kết hợp \(\Delta\)CEM vuông ở E
=> EQ=CM/2. Áp dụng ĐL Melelaus có \(\frac{GD}{GM}.\frac{EQ}{ED}.\frac{CM}{CQ}=1\)=> \(\frac{EQ}{ED}=\frac{1}{4}\)
=> \(\frac{ED}{CM}=2\)=> DE = 2CM = BC (đpcm).
b) Theo câu a thì EQ là trung tuyến của \(\Delta\)CEM vuông tại E => EQ = QC => ^QEC = ^QCE
Vì vậy ^PEG = ^QEC = ^QCE = ^PGE => \(\Delta\)EPG cân tại P => PG = PE (đpcm).
A B C I D E F
Hạ thêm IF vuông góc với BC
Vì BI là phân giác góc B nên IE = IF
Vì CI là phân giác góc B nên ID = IF
=> IE = ID (cùng = IF)
Tứ giác ADIE là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông) và có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau (IE=ID) nên nó là hình vuông
=> AD = AE
1. Mật khẩu vào cửa
Anh Tèo lần đầu đi Mỹ muốn ghé thăm một quán bar "xịn sò". Tuy nhiên, quán này lại chỉ cho phép những hội viên có mật khẩu vào mà thôi.
Cực chẳng đã, anh chàng phải đứng ngoài hóng xem mật khẩu từ khách đến trước là gì. Và đoạn hội thoại Tèo nghe được như sau.
Khi một cô gái đến gần, bảo vệ nói: "Twelve (12)", cô đáp "Six (6)" và được cho vào.
Một anh chàng khác đến, bảo vệ nói: "Six (6)", anh đáp "Three (3)" và được cho vào.
Sở hữu vốn tiếng Anh khá chuẩn, Tèo tự tin bước vào. Bảo vệ nói "Ten (10)", Tèo đáp: "Five (5)" rất dứt khoát, nhưng vẫn không được vào.
Vậy mật khẩu ở đây là gì?
2. Vụ cướp kỳ lạ
Một người đàn ông với mặt mày xước xát chạy đến đồn cảnh sát và thông báo rằng mình vừa bị cướp. Câu chuyện được thuật lại như sau: "Tôi đến ngân hàng, cầm theo vali chứa $100.000. Nhưng một kẻ mặc áo đen, quần đen, đeo mặt nạ và găng tay đen xuất hiện và tấn công. Hắn giật lấy vali rồi chạy mất tiêu."
Khi được hỏi về vết xước, ông ta đáp: "Kẻ đó tấn công tôi. Tay hắn có đeo một chiếc nhẫn bạc, bên tay trái, nó gây ra vết xước."
Cảnh sát kết luận người này nói dối. Hỏi tại sao?
3. Chuyến đò nguy hiểm
Jack nuôi 1 con sư tử, 1 con cừu, và mang theo một bao cỏ. Anh muốn qua sông, nhưng chỉ có một chiếc thuyền, và chiếc thuyền này cũng không thể chở quá 2 thứ cùng lúc.
Có nghĩa Jack phải chèo thuyền, và mỗi lần chỉ được mang theo một trong ba thứ anh có. Nhưng đồng thời, anh cũng phải đảm bảo rằng cừu không được ở một mình với bao cỏ, cũng như sư tử không được ở cùng cừu.
Giải pháp cho anh là gì?
4. Cửa an toàn
Một anh chàng vô tình bị kẻ xấu nhốt, nhưng chúng khá vui tính khi chỉ cho anh 4 cánh cửa. Cả 4 đều có thể thoát, nhưng sẽ phải trải qua thử thách bên trong.
Cánh cửa đầu tiên sẽ khiến anh rơi vào bể đầy cá mập trắng. Cửa 2 đằng sau chứa đầy nước, sẽ khiến cả căn phòng ngập nhanh chóng. Cửa 3 là một căn phòng ngập khí độc. Và cửa 4, anh sẽ phải đối mặt với một kẻ giết người hàng loạt bệnh hoạn và đáng sợ bậc nhất, đã giết hơn 100 người từ năm 1918.
Hỏi: Anh chàng phải chọn cửa nào để sống.
5. Thần bài
Bạn bị bịt mắt, và được đưa cho một bộ 52 lá bài. Vấn đề là trong bộ bài có 13 lá đang lật ngửa, và nhiệm vụ của bạn là tách cỗ bài ra làm 2, sao cho mỗi bên có số lá bài ngửa bằng nhau.
Bạn sẽ làm gì?
6. Vật thể lạ
Hình nào là khác biệt nhất so với các hình còn lại? (Câu đố này từng làm khó cả sinh viên đại học Harvard đấy).
A B C D E F I
a) AI là tai phân giác của góc A nên ID = IE. (1)
Các tam giác vuông ADI, AEI có \(\widehat{DAI}=\widehat{EAI}=45^o\) nên là tam giác vuông cân, do đó AD = ID, AE = IE. (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD = AE.
b) Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ABC:
BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82
BC2 = 36 + 64 = 100
\(\Rightarrow BC=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\).
Kẻ IF \(\perp\) BC
Xét hai tam giác vuông IBD và IBF có:
BI: cạnh huyền chung
\(\widehat{IBD}=\widehat{IBF}\) (gt)
Vậy: \(\Delta IBD=\Delta IBF\left(ch-gn\right)\)
\(\Rightarrow\) BD = BF (hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông ICE và ICF có:
CI: cạnh huyền chung
\(\widehat{ICE}=\widehat{ICF}\left(gt\right)\)
Vậy: \(\Delta ICE=\Delta ICF\left(ch-gn\right)\)
Suy ra: CE = CF (hai cạnh tương ứng)
Ta có: AB + AC - BC = AD + DB + AE + EC - BF - CF.
Do BD = BF, CE = CF nên:
AB + AC - BC = AD + AE
\(\Rightarrow\) 6 + 8 - 10 = AD + AE
\(\Rightarrow\) AD + AE = 4 (cm).
Theo câu a) ta có AD = AE nên AD = AE = 2cm.
Hình tự vẽ nhé!!!
a) AI là tai phân giác của góc A nên ID = IE. (1)
Các tam giác vuông ADI, AEI có ˆDAI=ˆEAI=45oDAI^=EAI^=45o nên là tam giác vuông cân, do đó AD = ID, AE = IE. (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD = AE.
b) Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ABC:
BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82
BC2 = 36 + 64 = 100
⇒BC=√100=10(cm)⇒BC=100=10(cm).
Kẻ IF ⊥⊥ BC
Xét hai tam giác vuông IBD và IBF có:
BI: cạnh huyền chung
ˆIBD=ˆIBFIBD^=IBF^ (gt)
Vậy: ΔIBD=ΔIBF(ch−gn)ΔIBD=ΔIBF(ch−gn)
⇒⇒ BD = BF (hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông ICE và ICF có:
CI: cạnh huyền chung
ˆICE=ˆICF(gt)ICE^=ICF^(gt)
Vậy: ΔICE=ΔICF(ch−gn)ΔICE=ΔICF(ch−gn)
Suy ra: CE = CF (hai cạnh tương ứng)
Ta có: AB + AC - BC = AD + DB + AE + EC - BF - CF.
Do BD = BF, CE = CF nên:
AB + AC - BC = AD + AE
⇒⇒ 6 + 8 - 10 = AD + AE
⇒⇒ AD + AE = 4 (cm).
Theo câu a) ta có AD = AE nên AD = AE = 2cm.
A B C D E I H 1 2 1 2 1 1 2 1
a) Từ I kẻ IH vuông góc với BC
Xét t/giác BID và BIH
có: \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\)(gt)
BI: chung
\(\widehat{BDI}=\widehat{BHI}=90^0\)
=> t/giác BID = t/giác BID (ch.gn)
=> DI = IH (2 cạnh t/ứng) (1)
CMTT: t/giác ECI = t/giác HCI (ch - gn)
=> EI = IH (2)
Từ (1) và (2) => DI = IE
Nối A và I
TA có: AH // IE (vì cùng vuông góc với AC) => \(\widehat{DAI}=\widehat{AIE}\)(slt)
Xét t/giác DAI và t/giác EIA
có: IA : chung
\(\widehat{ADI}=\widehat{IEA}=90^0\)(gt)
\(\widehat{DAI}=\widehat{AIE}\)(cmt)
=> t/goác DAI = t/giác EIA (ch - gn)
=> DI = EA; AD = EI (các cặp cạnh tương ứng)
mà DI = EI (cmt)
=> AE = AD (đpcm)
b) Xét t/giác ABC vuông tại A, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 (định lí Pi - ta - go)
=> BC2 = 62 + 82 = 100
=> BC = 10 (cm)
Ta có: t/giác BID = t/giác BIH (cmt) => BD = BH (2 cạnh t/ứng)
t/giác CIE = t/giác CIH (cmt) => CH = EC (2 cạnh t/ứng)
=> BD + EC = DH + HC = BC = 10 cm
Ta lại có: AB + AC = BD + AD + AE + EC = (BD + EC) + 2AD = 6 + 8
=> 2AD + 10 = 14
=> 2AD = 4 => AD = AE = 2 cm
A B C I D E K
a) Vì I là giao điểm của phân giác \(\widehat{B}\)và \(\widehat{C}\)
=> AI là phân giác \(\widehat{A}\)
=> ID=IE (1)
\(\Delta ADI\)và \(\Delta AEI\)vuông cân
=> ID=AD; IE=AE (2)
Từ (1)(2) => ED=AE (đpcm)
b) Hạ IK _|_ BC; ID _|_ AB; IE _|_ AC
=> BD=BK; CK=CE; AD=AE
\(\Delta ABC\)vuông tại A có AB=6cm; AC=8cm. Áp dụng định lý Pytago ta có:
\(AB^2+AC^2=BC^2\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)
Đặt AD=x => BK=6-x; CK=8-c
=> 6-x+8-x=10
=> x=2
Vậy AD=2cm
Tam giác vuông BAC có ∠A = 90o
Áp dụng định lí Pitago, ta có:
BC2 = AB2 + AC2
= 62 + 82 = 36 + 64 = 100
⇒ BC = 10 (cm)
Kẻ IF ⊥ BC
Xét hai tam giác vuông IDB và IFB, ta có:
∠(IDB) = ∠(IFB) = 90o
∠(DBI) = ∠(FBI) (gt)
cạnh huyền BI chung
Suy ra: ΔIDB = ΔIFB (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: DB = FB (hai cạnh tương ứng) (4)
Xét hai tam giác vuông IEC và IFC, ta có:
∠(IEC) = ∠(IFC) = 90o
∠(ECI) = ∠(FCI) (gt)
cạnh huyền CI chung
Suy ra: ΔIEC = ΔIFC (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: CE = CF (hai cạnh tương ứng) (5)
Mà: AD + AE = AB - DB + AC - CE
Suy ra: AD + AE = AB + AC - (DB + CE) (6)
Từ (4), (5) và (6) suy ra: AD + AE = AB + AC - (FB + FC)
= AB + AC - BC = 6 + 8 - 10 = 4 (cm)
Mà AD = AE (chứng minh trên)
Nên AD = AE = 4 : 2 = 2(cm).
Vì I là giao điểm các đường phân giác trong của B và C nên AI là tia phân giác của ∠A .
Suy ra: ID = IE (tính chất tia phân giác) (1)
Vì ΔADI vuông tại D có AI là tia phân giác góc A nên:
Do đó: ΔADI vuông cân tại D
Suy ra: ID = DA (2)
Vì ΔAEI vuông tại E có
nên ΔAEI vuông cân tại E
Suy ra: IE = AE (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: AD = AE.