TD
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HT
17 tháng 1 2021
Nhìn đề dữ dội y hệt cr của tui z :( Để làm từ từ
Lập bảng xét dấu cho \(\left|x^2-1\right|\) trên đoạn \(\left[-2;2\right]\)
| x | -2 | -1 | 1 | 2 |
| \(x^2-1\) | 0 | 0 |
\(\left(-2;-1\right):+\)
\(\left(-1;1\right):-\)
\(\left(1;2\right):+\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^{-1}_{-2}\left|x^2-1\right|dx+\int\limits^1_{-1}\left|x^2-1\right|dx+\int\limits^2_1\left|x^2-1\right|dx\)
\(=\int\limits^{-1}_{-2}\left(x^2-1\right)dx-\int\limits^1_{-1}\left(x^2-1\right)dx+\int\limits^2_1\left(x^2-1\right)dx\)
\(=\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^{-1}_{-2}-\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^1_{-1}+\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^2_1\)
Bạn tự thay cận vô tính nhé :), hiện mình ko cầm theo máy tính
HT
17 tháng 1 2021
2/ \(I=\int\limits^e_1x^{\dfrac{1}{2}}.lnx.dx\)
\(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=x^{\dfrac{1}{2}}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}.lnx|^e_1-\dfrac{2}{3}\int\limits^e_1x^{\dfrac{1}{2}}.dx\)
\(=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}.lnx|^e_1-\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}|^e_1=...\)
HN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 3 2018
Lời giải:
Ta có:
\(\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{\sin x}{(\sin x+\cos x)^3}dx=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x}{(\sin x+\cos x)^3}dx+\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{\sin x}{(\sin x+\cos x)^3}dx\)
\(=A+B\)
Xét riêng rẽ:
\(A=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin^3 x}{(\sin x+\cos x)^3}.\frac{dx}{\sin ^2x}=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\left(\frac{\sin x+\cos x}{\sin x}\right)^3}d(-\cot x)\)
\(=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{(\cot x+1)^3}d(-\cot x)=-\int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{d(\cot x+1)}{(\cot x+1)^3}\)
\(=\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ \frac{\pi}{4}\end{matrix}\right|\frac{1}{2(\cot x+1)^2}=\frac{3}{8}\)
\(B=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{\sin x+\cos x-\cos x}{(\sin x+\cos x)^3}dx\)\(=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{ 1}{(\sin x+\cos x)^2}dx-\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{\cos x}{(\sin x+\cos x)^3}dx\)
\(=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{1}{\left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right)^2}.\frac{dx}{\cos ^2x}-\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{1}{\left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos^3 x}\right)^3}.\frac{dx}{\cos ^2x}\)
\(=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{d(\tan x)}{(\tan x+1)^2}-\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{d(\tan x)}{(\tan x+1)^3}\)
\(=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{d(\tan x+1)}{(\tan x+1)^2}-\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{d(\tan x+1)}{(\tan x+1)^3}\)
\(=\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{4}\\ 0\end{matrix}\right|\frac{-1}{\tan x+1}+\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{4}\\ 0\end{matrix}\right|\frac{1}{2(\tan x+1)^2}=\frac{1}{8}\)
Do đó: \(\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{\sin x}{(\sin x+\cos x)^3}dx=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}\)
Sở dĩ phải chia tích phân thành tổng nhỏ như vậy là do khi ta thực hiện chia sin x xuống dưới mẫu thì hàm số không liên tục trong đoạn \([\frac{\pi}{2}; 0]\)
HD
0
TD
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 2 2019
\(I=\int\dfrac{x^3dx}{\left(x^8-4\right)^2}\)
Đặt \(x^4=t\Rightarrow x^3dx=\dfrac{1}{4}dt\Rightarrow I=\dfrac{1}{4}\int\dfrac{dt}{\left(t^2-2\right)^2}=\dfrac{1}{4}\int\dfrac{dt}{\left(t-\sqrt{2}\right)^2\left(t+\sqrt{2}\right)^2}\)
\(=\dfrac{1}{32}\int\left(\dfrac{1}{t-\sqrt{2}}-\dfrac{1}{t+\sqrt{2}}\right)^2dt=\dfrac{1}{32}\int\left(\dfrac{1}{\left(t-\sqrt{2}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(t+\sqrt{2}\right)^2}-\dfrac{2}{\left(t+\sqrt{2}\right)\left(t-\sqrt{2}\right)}\right)dt\)
\(=\dfrac{1}{32}\int\left(\dfrac{1}{\left(t-\sqrt{2}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(t+\sqrt{2}\right)^2}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{1}{t-\sqrt{2}}-\dfrac{1}{t+\sqrt{2}}\right)\right)dt\)
\(=\dfrac{1}{32}\left(\dfrac{-1}{t-\sqrt{2}}-\dfrac{1}{t+\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}ln\left|\dfrac{t-\sqrt{2}}{t+\sqrt{2}}\right|\right)+C\)
\(=\dfrac{1}{32}\left(\dfrac{-1}{x^4-\sqrt{2}}-\dfrac{1}{x^4+\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}ln\left|\dfrac{x^4-\sqrt{2}}{x^4+\sqrt{2}}\right|\right)+C\)
2/ \(I=\int\dfrac{\left(2x+1\right)dx}{\left(x^2+x-1\right)\left(x^2+x+3\right)}=\dfrac{1}{4}\int\left(\dfrac{1}{x^2+x-1}-\dfrac{1}{x^2+x+3}\right)\left(2x+1\right)dx\)
\(=\dfrac{1}{4}\int\left(\dfrac{2x+1}{x^2+x-1}-\dfrac{2x+1}{x^2+x+3}\right)dx\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(\int\dfrac{d\left(x^2+x-1\right)}{x^2+x-1}-\int\dfrac{d\left(x^2+x+3\right)}{x^2+x+3}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}ln\left|\dfrac{x^2+x-1}{x^2+x+3}\right|+C\)
3/ Đặt \(\sqrt[3]{x}=t\Rightarrow x=t^3\Rightarrow dx=3t^2dt\)
\(\Rightarrow I=\int\dfrac{3t^2.sint.dt}{t^2}=3\int sint.dt=-3cost+C=-3cos\left(\sqrt[3]{x}\right)+C\)
4/ \(I=\int\dfrac{dx}{1+cos^2x}=\int\dfrac{\dfrac{1}{cos^2x}dx}{\dfrac{1}{cos^2x}+1}\)
Đặt \(t=tanx\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}dt=\dfrac{1}{cos^2x}dx\\\dfrac{1}{cos^2x}=1+tan^2x=1+t^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\dfrac{dt}{1+t^2+1}=\int\dfrac{dt}{t^2+2}=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dt}{\left(\dfrac{t}{\sqrt{2}}\right)^2+1}\)
\(=\dfrac{1}{2}.\sqrt{2}.arctan\left(\dfrac{t}{\sqrt{2}}\right)+C=\dfrac{1}{\sqrt{2}}arctan\left(\dfrac{tanx}{\sqrt{2}}\right)+C\)
5/ \(I=\int\dfrac{sinx+cosx}{4+2sinx.cosx-sin^2x-cos^2x}dx=\int\dfrac{sinx+cosx}{4-\left(sinx-cosx\right)^2}dx\)
Đặt \(sinx-cosx=t\Rightarrow\left(cosx+sinx\right)dx=dt\)
\(\Rightarrow I=\int\dfrac{dt}{4-t^2}=-\int\dfrac{dt}{\left(t-2\right)\left(t+2\right)}=\dfrac{1}{4}\int\left(\dfrac{1}{t+2}-\dfrac{1}{t-2}\right)dt\)
\(=\dfrac{1}{4}ln\left|\dfrac{t+2}{t-2}\right|+C=\dfrac{1}{4}ln\left|\dfrac{sinx-cosx+2}{sinx-cosx-2}\right|+C\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 2 2019
Ơ bài 1 nhầm số 4 thành số 2 rồi, bạn sửa lại 1 chút nhé :D
Còn 1 cách làm khác nữa là lượng giác hóa
Đặt \(x^4=2sint\Rightarrow x^3dx=\dfrac{1}{2}cost.dt\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{cost.dt}{\left(4sin^2t-4\right)^2}=\dfrac{1}{32}\int\dfrac{cost.dt}{cos^4t}=\dfrac{1}{32}\int\dfrac{dt}{cos^3t}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{1}{cost}\\dv=\dfrac{dt}{cos^2t}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{sint.dt}{cos^2t}\\v=tant\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow32I=\dfrac{tant}{cost}-\int\dfrac{tant.sint.dt}{cos^2t}=\dfrac{sint}{cos^2t}-\int\dfrac{sin^2t.dt}{cos^3t}\)
\(=\dfrac{sint}{1-sin^2t}-\int\dfrac{1-cos^2t}{cos^3t}dt=\dfrac{sint}{1-sin^2t}-\int\dfrac{dt}{cos^3t}+\int\dfrac{1}{cosx}dx\)
Chú ý rằng \(\int\dfrac{dt}{cos^3t}=32I\)
\(\Rightarrow32I=\dfrac{sint}{1-sin^2t}-32I+\int\dfrac{cost.dt}{cos^2t}\)
\(\Rightarrow64I=\dfrac{sint}{1-sin^2t}-\int\dfrac{d\left(sint\right)}{sin^2t-1}=\dfrac{sint}{1-sin^2t}-\dfrac{1}{2}ln\left|\dfrac{sint-1}{sint+1}\right|+C\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{2x^4}{4-x^8}-\dfrac{1}{2}ln\left|\dfrac{x^4-2}{x^4+2}\right|\right)+C\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 11 2017
Câu a)
\(\int \frac{1}{\cos^4x}dx=\int \frac{\sin ^2x+\cos^2x}{\cos^4x}dx=\int \frac{\sin ^2x}{\cos^4x}dx+\int \frac{1}{\cos^2x}dx\)
Xét \(\int \frac{1}{\cos^2x}dx=\int d(\tan x)=\tan x+c\)
Xét \(\int \frac{\sin ^2x}{\cos^4x}dx=\int \frac{\tan ^2x}{\cos^2x}dx=\int \tan^2xd(\tan x)=\frac{\tan ^3x}{3}+c\)
Vậy :
\(\int \frac{1}{\cos ^4x}dx=\frac{\tan ^3x}{3}+\tan x+c\)
\(\Rightarrow \int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{6}}\frac{dx}{\cos^4 x}=\)\(\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{3}\\ \frac{\pi}{6}\end{matrix}\right|\left ( \frac{\tan ^3 x}{3}+\tan x+c \right )=\frac{44}{9\sqrt{3}}\)
Câu b)
\(\int \frac{(x+1)^2}{x^2+1}dx=\int \frac{x^2+1+2x}{x^2+1}dx=\int dx+\int \frac{2xdx}{x^2+1}\)
\(=x+c+\int \frac{d(x^2+1)}{x^2+1}=x+\ln (x^2+1)+c\)
Do đó:
\(\int ^{1}_{0}\frac{(x+1)^2}{x^2+1}dx=\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|(x+\ln (x^2+1)+c)=\ln 2+1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 11 2017
Câu c)
\(\int \frac{x^2+2\ln x}{x}dx=\int xdx+2\int \frac{2\ln x}{x}dx\)
\(=\frac{x^2}{2}+c+2\int \ln xd(\ln x)\)
\(=\frac{x^2}{2}+c+\ln ^2x\)
\(\Rightarrow \int ^{2}_{1}\frac{x^2+2\ln x}{x}dx=\left.\begin{matrix} 2\\ 1\end{matrix}\right|\left ( \frac{x^2}{2}+\ln ^2x +c \right )=\frac{3}{2}+\ln ^22\)
Câu d)
\(\int^{2}_{1} \frac{x^2+3x+1}{x^2+x}dx=\int ^{2}_{1}dx+\int ^{2}_{1}\frac{2x+1}{x^2+x}dx\)
\(=\left.\begin{matrix} 2\\ 1\end{matrix}\right|x+\int ^{2}_{1}\frac{d(x^2+x)}{x^2+x}=1+\left.\begin{matrix} 2\\ 1\end{matrix}\right|\ln |x^2+x|=1+\ln 6-\ln 2\)
\(=1+\ln 3\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 2 2019
Bạn xem lại xem có type thiếu đề không? \((x+\frac{\pi}{6})\) có sin hay cos, tan ở phía trước không?
6 tháng 2 2017
1)
\(I=\int\left(cos^2x-cos^2x\cdot sin^3x\right)dx\\ =\int cos^2x\cdot dx-\int cos^2x\cdot sin^3x\cdot dx\\ =\frac{1}{2}\int\left(cos2x+1\right)dx+\int cos^2x\left(1-cos^2x\right)d\left(cosx\right)\\ =\frac{1}{4}sin2x+\frac{1}{2}+\frac{cos^3x}{3}-\frac{cos^5x}{5}+C\)
....
6 tháng 2 2017
2) Xét riêng mẫu số:
\(sin2x+2\left(1+sinx+cosx\right)\\ =\left(sin2x+1\right)+2\left(sinx+cosx\right)+1\\ =\left(sinx+cosx\right)^2+2\left(sinx+cosx\right)+1\\ =\left(sinx+cosx+1\right)^2\\ =\left[\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1\right]^2\)
Khi đó:
\(I_2=\int\frac{sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{\left[\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1\right]^2}dx\\ =-\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{d\left[\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1\right]}{\left[\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1\right]^2}\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1}+C=\frac{1}{2cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1}\)
...