Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Thay x=-2 và x=2 vào ta được:
\(\hept{\begin{cases}8a+4b+2c+d=0\left(1\right)\\-8a+4b-2c+d=0\left(2\right)\end{cases}}\)
Trừ (1) cho (2) được: 16a+4c=0 <=> 4a+c=0 => c=-4a <=> \(\frac{c}{a}=-4\)
Cộng (1) với (2) ta được: 8b+2d=0 <=> d=-4b => \(\frac{d}{b}=-4\)
Đáp số: \(\frac{c}{a}=\frac{d}{b}=-4\)
Ta có \(f\left(x\right)\)có nghiệm là -1
=> \(f\left(-1\right)=0\)
=> \(\left(-1\right)^3+\left(-1\right)^3a+\left(-1\right)b-2=0\)
=> \(-1-a-b-2=0\)
=> \(-3-a-b=0\)
=> \(-a-b=3\)
=> \(-\left(a-b\right)=3\)
=> \(a-b=-3\)
=> \(a=-3+b\)(1)
và f (x) cũng có nghiệm là 1
=> \(f\left(1\right)=0\)
=> \(1^3+a.1^3+b-2=0\)
=> \(1+a+b-2=0\)
=> \(-1+a+b=0\)
=> \(a+b=1\)(2)
Thế (1) vào (2), ta có:
\(-3+b+b=1\)
=> \(-3+2b=1\)
=> \(2b=1+3\)
=> \(2b=4\)
=> \(b=2\)
=> \(a=-3+2=-1\)
Ta có: \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\)
\(f\left(1\right)=0\Rightarrow a\times1^3+b\times1^2+c\times1+d=0\)
\(\Rightarrow a+b+c+d=0\)
\(f\left(-1\right)=0\Rightarrow a\times\left(-1\right)^3+b\times\left(-1\right)^2+c\left(-1\right)+d=0\)
\(\Rightarrow-a+b-c+d=0\)
\(\Rightarrow a+b+c+d=-a+b-c+d=0\)
\(\Rightarrow a+b+c+d+a-b+c=d=0\)
Ta có: \(f\left(0\right)=a\times0^3+b\times0^2+c\times0+d=d=0\)
Vậy x = 0 là nghiệm thứ ba của đa thức f(x).
x1,x2 là hai nghiệm của P(x) nên:
\(P\left[x_1\right]=ax^2_1+bx_1+c=0(1)\)
\(P\left[x_2\right]=ax^2_2+bx_2+c=0\)
\(P\left[x_1\right]-P\left[x_2\right]=a\left[x^2_1-x^2_2\right]+b\left[x_1-x_2\right]=0\)
\(a\left[x_1+x_2\right]\left[x_1-x_2\right]+b\left[x_1-x_2\right]=0\)
\(\left[x_1-x_2\right]\left[a\left\{x_1+x_2\right\}+b\right]=0\)
Vì x1 \(\ne\)x2 nên x1 - x2 \(\ne0\), do đó :
\(a\left[x_1+x_2\right]+b=0\Leftrightarrow b=-a\left[x_1+x_2\right](2)\)
Thế 2 vào 1 ta được :
\(ax^2_1-a\left[x_1+x_2\right]\cdot x_1+c=0\Rightarrow c=ax_1\left[x_1+x_2\right]-ax^2_1=ax_1x_2(3)\)
Thế 2 và 3 vào P(x) ta được :
P(x) = \(ax^2+bx+c=ax^2-ax\left[x_1+x_2\right]+ax_1x_2\)
= \(ax^2-axx_1-axx_2+ax_1x_2=a\left[x_2-xx_1-xx_2+x_1x_2\right]\)
= \(a\left[x\left\{x-x_1\right\}-x_2\left\{x-x_1\right\}\right]=a\left[x-x_1\right]\left[x-x_2\right]\)
Vậy P(x) = \(a\left[x-x_1\right]\left[x-x_2\right]\).
\(x_1,x_2\)là hai nghiệm của P(x) nên:
\(P\left(x_1\right)=ax^2_1+bx_1+c=0\)(1)
\(\left(x_2\right)=ax^2_2+bx_2+c=0\)
\(P\left(x_1\right)-P\left(x_2\right)=a\left(x_1^2-x^2_2\right)+b\left(_1^2-x^2_2\right)=0\)
\(a\left(x_1^2+x^2_2\right)\left(x_1^2-x^2_2\right)+b\left(x_1^2-x^2_2\right)=0\)
\(\left(x_1^2-x^2_2\right)\left[a\left(x_1^2+x^2_2\right)+b\right]=0.\)
Vì \(x_1\ne x_2\)nên \(x_1^2-x^2_2=0\)do đó:
\(a\left(x_1^2+x^2_2\right)+b=0\Rightarrow b=-a\left(x_1^2+x^2_2\right)\)(2)
Thế (2) vào (1) ta được:
\(ax^2_1-a\left(x_1^2+x^2_2\right)x_1+c=0\Rightarrow c=ax_1\left(x_1+x_2\right)-ax^2_1=ax_1x_2\)(3)
Thế (2) và (3) vào P(x) ta được:
\(P\left(x\right)=ax^2+bx+c=ax^2-ax\left(x_1+x_2\right)+ax_1x_2\)
\(=ax^2-axx_1-axx_2+ax_1x_2=a\left(x^2-xx_1-xx_2+x_1x_2\right)\)
\(=a\left[x\left(x-x_1\right)-x_2\left(x-x_1\right)\right]=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right).\)
Vậy \(P\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right).\)
