\(\dfrac{1}{2a-1}+\dfrac{1}{2b-1}+\dfrac{1}{2c-1}+3\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+...">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
15 tháng 3 2022

\(\dfrac{1}{2a-1}+\dfrac{1}{1}\ge\dfrac{4}{2a-1+1}=\dfrac{2}{a}\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{2b-1}+1\ge\dfrac{2}{b}\) ; \(\dfrac{1}{2c-1}+1\ge\dfrac{2}{c}\)

Cộng vế:

\(VT\ge\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)+\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

3 tháng 3 2019

\(vì:a,b,c>0\Rightarrow\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}>0\)

\(Cosi:\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{2}{\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{4}{a+b}\)

\(\dfrac{4}{2a+b+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{a+c}\right)\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{8}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)=\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{4b}+\dfrac{1}{4c}.tươngtự:\dfrac{4}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}+\dfrac{1}{2c};\dfrac{4}{a+2b+c}\le\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2c}.\text{cộng vế theo vế ta được:}\dfrac{4}{a+2b+c}+\dfrac{4}{2a+b+c}+\dfrac{4}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\left(\text{đpcm}\right)\)

NV
3 tháng 3 2019

Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x+y+z+t}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t}\right)\) với các số dương

Ta có: \(\dfrac{4}{a+a+b+c}\le\dfrac{4}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

\(\dfrac{4}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)

\(\dfrac{4}{a+2b+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

Cộng vế với vế:

\(\dfrac{4}{2a+b+c}+\dfrac{4}{a+2b+c}+\dfrac{4}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 1 2018

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\text{VT}=\frac{\left ( \frac{a}{bc} \right )^2}{\frac{1}{c}}+\frac{\left ( \frac{b}{ca} \right )^2}{\frac{1}{a}}+\frac{\left ( \frac{c}{ab} \right )^2}{\frac{1}{b}}\geq \frac{\left ( \frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab} \right )^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq \frac{\left ( \frac{a^2+b^2+c^2}{abc} \right )^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\)

Theo hệ quả của BĐT AM-GM thì:

\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{\left ( \frac{ab+bc+ac}{abc} \right )^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)

5 tháng 6 2018

lm giúp e vs ạkhocroi

28 tháng 1 2018

Áp dụngk BĐt cô-si, ta có 

\(\frac{a^2}{b^2c}+\frac{b^2}{c^2a}+\frac{1}{a}\ge3.\frac{1}{c}\)

Tương tự , rồi cộng vào, ta có 

\(2A+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\Rightarrow A\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\left(ĐPCM\right)\)

^_^ 

8 tháng 8 2017

1.Ta có :\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(=x^2-xy+y^2\) (do x+y=1)

\(=\dfrac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\)\(=\dfrac{1}{4}.1=\dfrac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi :\(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(x^3+y^3\ge\dfrac{1}{4}\)

8 tháng 8 2017

2.

a) Sửa đề: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3-a^2b\right)+\left(b^3-ab^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng vì \(a,b\ge0\))

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

b) Lần trước mk giải rồi nhá

3.

a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel\(P=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{1}{z+1}\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)

b) \(Q=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}+\dfrac{z}{z^2+1}\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2.1}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2.1}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2.1}}\)

\(=\dfrac{x}{2x}+\dfrac{y}{2y}+\dfrac{z}{2z}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 2 2018

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\text{VT}=\frac{a^3}{2b+3c}+\frac{b^3}{2c+3a}+\frac{c^3}{2a+3b}=\frac{a^4}{2ab+3ac}+\frac{b^4}{2bc+3ba}+\frac{c^4}{2ac+3bc}\)

\(\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2ab+3ac+2bc+3ba+2ac+3bc}=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{5(ab+bc+ac)}\)

Theo hệ quả của BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ac)}{5(ab+bc+ac)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{5}\)

Ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)