T
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
30 tháng 4 2020
Đặt \(P=\frac{x^3}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)
\(\Rightarrow P\ge x+y+x-\frac{x+y+z}{2}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{4}{2}=2\)
LT
0
28 tháng 8 2017
\(\frac{x}{1+y-x}+\frac{y}{1+z-y}+\frac{z}{1+x-z}\)
\(=\frac{x}{2y+z}+\frac{y}{2z+x}+\frac{z}{2x+y}=\frac{x^2}{2xy+xz}+\frac{y^2}{2yz+xy}+\frac{z^2}{2xz+y^2}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(xy+yz+xz\right)}\)(Schwarz)
Giờ ta cần CM\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(xy+yz+xz\right)}\ge1\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
Lại có:
\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\ge3\left(xy+yz+xz\right)\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
Vậy BĐT đã được CM. Dấu"="xảy ra khi x=y=z=1/3
\(\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\)
\(=\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{y}\)
\(=\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\ge2.\sqrt{\frac{x}{z}.\frac{z}{x}}+2.\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}+2.\sqrt{\frac{y}{z}.\frac{z}{y}}=2+2+2=6\)
đpcm
Svac-xơ
\(VT=\left(\frac{x+y}{z}+1\right)+\left(\frac{y+z}{x}+1\right)+\left(\frac{z+x}{y}+1\right)-3\)
\(VT=\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}-3=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-3\)
\(\ge\left(x+y+z\right).\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}-3=9-3=6\)