Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dat \(P=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)
Ta co: \(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Ta d̃i CM:\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Ta co:\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc\left(dpcm\right)\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c\)
\(\left(\frac{a-4}{a}\right)\left(\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+2}-\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}\right)=\left(\frac{a-4}{a}\right)\left(\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}-2\right)-\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}\right)\)
\(=\left(\frac{a-4}{a}\right)\left(\frac{a-3\sqrt{a}+2-a-3\sqrt{a}-2}{a-4}\right)\)
\(=\frac{-6\sqrt{a}}{a}=\frac{-6}{\sqrt{a}}\)
bạn ơi coi lại đề đi nha , tự nhiên trong một dãy tòn a không là có b, nếu có b chắc phải có điều kiện của b đúng không. Vậy điều kiện của b ?
a: \(a+\dfrac{1}{a}\ge2\sqrt{a\cdot\dfrac{1}{a}}=2\)
b: \(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+a+1+1}{\sqrt{a^2+a+1}}>=2\)
=>\(\sqrt{a^2+a+1}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+a+1}}>=2\)(1)
\(\sqrt{a^2+a+1}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+a+1}}>=2\sqrt{\sqrt{a^2+a+1}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{a^2+a+1}}}=2\)
nên (1) đúng
\(\left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left(\frac{1-\sqrt{a}}{1-a}\right)^2=1\)
Biến đổi vế trái ta có:
\(=\left[\frac{1-\sqrt{a^3}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right]\left[\frac{1-\sqrt{a}}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}\right]^2\)
\(=\left[\frac{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}+a\right)}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right]\left[\frac{1}{1+\sqrt{a}}\right]^2\)
\(=\left(1+\sqrt{a}+a+\sqrt{a}\right)\left(\frac{1}{a+2\sqrt{a}+1}\right)\)
\(=\frac{\left(a+2\sqrt{a}+1\right)}{a+2\sqrt{a}+1}\)
\(=1=VP\)
Vậy đẳng thức được chứng minh
Bài 1:
a) \(\left(1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\cdot\left(1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\)
\(=\frac{\sqrt{a}+1+a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\cdot\frac{\sqrt{a}-1-a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\)
\(=\frac{a+2\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+1}\cdot\frac{-a+2\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-1}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{\sqrt{a}+1}\cdot\frac{-\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{a}-1}\)
\(=-\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)\)
\(=-\left(a-1\right)\)
\(=1-a\)
b) \(P=\sqrt{x^2+6x+2011}\)
\(P=\sqrt{x^2+6x+9+2002}\)
\(P=\sqrt{\left(x+3\right)^2+2002}\ge\sqrt{2002}\forall x\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=-3\)
\(VT=\left(\dfrac{\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\dfrac{\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}\right):\dfrac{2\sqrt{a}}{a-1}\)
\(=\left(\dfrac{-\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)+\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{a-1}\right).\dfrac{a-1}{2\sqrt{a}}\)
\(=\left(\dfrac{-a-\sqrt{a}+a-\sqrt{a}}{a-1}\right).\dfrac{a-1}{2\sqrt{a}}=\dfrac{-2\sqrt{a}}{a-1}.\dfrac{a-1}{2\sqrt{a}}=-1=VP\)
= (1 + √a)(1 - √a)
= 1 - (√a)2 = 1 - a = VP (đpcm)