Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left\{{}\begin{matrix}2x-\left(m^2+m+1\right)y=-m^2-9\left(1\right)\\m^4x+\left(2m^2+1\right)y=1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
rút x từ (1) thế vào (2)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\left(m^2+m+1\right)y-m^2-9}{2}\left(3\right)\\m^4\left[\dfrac{\left(m^2+m+1\right)y-m^2-9}{2}\right]+\left(2m^2+1\right)y=1\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(4\right)\Leftrightarrow m^4\left(m^2+m+1\right)y-m^4\left(m^2+9\right)+2\left(2m^2+1\right)y=2\)
\(\Leftrightarrow\left[m^4\left(m^2+m+1\right)+4m^2+2\right]y=m^4\left(m^2+9\right)+2\)
\(\Leftrightarrow Ay=B\)
Taco
\(\left\{{}\begin{matrix}m^2+m+1=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\forall m\in R\\4m^2+2>0\forall m\in R\\m^4\left(m^2+9\right)>0\forall m\in R\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A>0\forall m\in R\\B>0\forall m\in R\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow y>0\forall m\in R\)
Kết luận không có m thủa mãn
\(\hept{\begin{cases}mx+y=m^2+m+1\\-x+my=m^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m\left(my-m^2\right)+y-m^2-m-1=0\\x=my-m^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(m^2y-m^2\right)+\left(y-1\right)-\left(m^3+m\right)=0\\x=my-m^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m^2+1\right)\left(y-m-1\right)=0\\x=my-m^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}y=m+1\\x=m\left(m+1\right)-m^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=m\\y=m+1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)\(x^2+y^2=2m^2+2m+1=2\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=\frac{-1}{2}\) hay hệ có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(\frac{-1}{2};\frac{1}{2}\right)\)
Bài 1:
Khi $m=1$ thì HPT trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} x-2y=-1\\ 2x+y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-4y=-2\\ 2x+y=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (2x+y)-(2x-4y)=2-(-2)\)
\(\Leftrightarrow 5y=4\Rightarrow y=\frac{4}{5}\)
\(x=\frac{2-y}{2}=\frac{2-\frac{4}{5}}{2}=\frac{3}{5}\)
Vậy ...........
b)
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} mx-2y=m-2\\ y=m+1-2x\end{matrix}\right.\Rightarrow mx-2(m+1-2x)=m-2\)
\(\Leftrightarrow x(m+4)=3m(*)\)
Để HPT ban đầu có bộ nghiệm (x,y) duy nhất thì PT $(*)$ phải có nghiệm $x$ duy nhất. Điều này xảy ra khi $m+4\neq 0$ hay $m\neq -4$
Bài 2:
a)
Khi $m=2$ thì hệ trở thành:
\(\left\{\begin{matrix}
x+2y=1\\
2x+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
2x+4y=2\\
2x+y=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (2x+4y)-(2x+y)=2-1\)
\(\Leftrightarrow 3y=1\Rightarrow y=\frac{1}{3}\)
Khi đó: \(x=1-2y=1-2.\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
Vậy HPT có bộ nghiệm duy nhất $(x,y)=(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$
b)
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1-my\\ mx+y=1\end{matrix}\right.\Rightarrow m(1-my)+y=1\)
\(\Leftrightarrow y(1-m^2)=1-m(*)\)
Để HPT ban đầu có nghiệm duy nhất thì PT $(*)$ cũng phải có nghiệm duy nhất. Điều này xảy ra khi \(1-m^2\neq 0\Leftrightarrow m\neq \pm 1\)
Khi đó:
\(y=\frac{1-m}{1-m^2}=\frac{1}{1+m}\)
\(x=1-my=1-\frac{m}{m+1}=\frac{1}{m+1}\)
Vậy HPT có nghiệm \((x,y)=(\frac{1}{m+1}, \frac{1}{m+1})\)
Để \(x,y>0\Leftrightarrow \frac{1}{m+1}>0\Leftrightarrow m>-1\)
Kết hợp những điều vừa tìm được suy ra $m>-1$ và $m\neq 1$ thì thỏa mãn.
Hệ pt : \(\begin{cases}x+my=m+1\\mx+y=3m-1\end{cases}\)
Xét pt đầu : \(x+my=m+1\Leftrightarrow x=m+1-my\) thay vào pt còn lại :
\(m\left(m+1-my\right)+y=3m-1\)
\(\Leftrightarrow y\left(1-m^2\right)=-m^2+2m-1\)
Nếu \(m=1\) thì pt có dạng 0.y = 0 => Vô số nghiệm.
Nếu m = -1 thì pt có dạng 0.x = -4 => vô nghiệm.
Xét với \(m\ne1\) và \(m\ne-1\) thì pt có nghiệm \(y=\frac{-\left(m-1\right)^2}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}=\frac{m-1}{m+1}\)
\(\Rightarrow x=m+1-m\left(\frac{m-1}{m+1}\right)=m+1-\frac{m^2-m}{m+1}=\frac{m^2+2m+1-m^2+m}{m+1}=\frac{3m+1}{m+1}\)
Xét \(xy=\frac{\left(m-1\right)\left(3m+1\right)}{\left(m+1\right)^2}=\frac{3m^2-2m-1}{\left(m+1\right)^2}\)
Đặt \(t=m+1\) thì \(m=t-1\) thay vào biểu thức trên được
\(\frac{3\left(t-1\right)^2-2\left(t-1\right)-1}{t^2}=\frac{3t^2-8t+4}{t^2}=\frac{4}{t^2}-\frac{8}{t}+3\)
Lại đặt \(a=\frac{1}{t}\) thì : \(4a^2-8a+3=4\left(a-1\right)^2-1\ge-1\)
Suy ra \(xy\ge-1\) . Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=1\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow m=0\)
Vậy với m = 0 thì xy đạt giá trị nhỏ nhất bằng -1
Ta có: D = m − 1 3 m = m 2 + 3 ; D x = 2 − 1 5 m = 2 m + 5 ; D y = m 2 3 5 = 5 m − 6
Vì m 2 + 3 ≠ 0 , ∀ m nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất x = D x D = 2 m + 5 m 2 + 3 y = D y D = 5 m − 6 m 2 + 3
Theo giả thiết, ta có:
x + y < 1 ⇔ 2 m + 5 m 2 + 3 + 5 m − 6 m 2 + 3 < 1 ⇔ 7 m − 1 m 2 + 3 < 1
⇔ 7 m − 1 < m 2 + 3 ⇔ m 2 − 7 m + 4 > 0 ⇔ m > 7 + 33 2 m < 7 − 33 2
Đáp án cần chọn là: A