Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)\)
Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)
Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : \(y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2\)
=> Các điểm cực trị là :
\(A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);\)
Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :
\(\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)\)
A và B đối xứng đi qua d thì trước hết \(d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0\)
Khi đó \(I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I\) là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm
a) Ta có : \(y'=3x^2+2\left(m-1\right)x+m\left(m-3\right)\)
Hàm số (1) có cực đại và cực tiểu nằm 2 phía đối với trục tung <=> phương trình : \(3x^2+2\left(m-1\right)x+m\left(m-3\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
\(\Leftrightarrow P< 0\Leftrightarrow m\left(m-3\right)< 0\Leftrightarrow0< m< 3\)
Vậy \(0< m< 3\) là giá trị cần tìm
b) Khi m = 1 ta có : \(y=x^3-2x\).
Gọi \(M\left(a;a^3-2a\right)\in\left(C\right),a\ne0\)
Ta có \(y'=3x^2-2\) nên hệ số góc của \(\Delta\) là \(y'\left(a\right)=3a^2-2\)
Ta có \(\overrightarrow{OM}\left(a;a^3-2a\right)\) nên hệ số góc đường thẳng OM là \(k=a^2-2\)
Do đó : \(\Delta\perp OM\Leftrightarrow y'_a.k=-1\)
\(\Leftrightarrow\left(3a^2-2\right)\left(a^2-2\right)=-1\Leftrightarrow3a^4-8a^2+5=0\)
\(M_1\left(1;-1\right);M_1\left(-1;1\right);M_3\left(-\frac{\sqrt{15}}{3};\frac{\sqrt{15}}{9}\right);M_4\left(\frac{\sqrt{15}}{3};-\frac{\sqrt{15}}{9}\right)\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a^2=1\\a^2=\frac{5}{3}\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a=\pm1\\a=\pm\frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}\right.\)(Thỏa mãn)
Suy ra có 4 điểm thỏa mãn đề bài :\(M_1\left(1;-1\right);M_2\left(-1;1\right);M_3\left(-\frac{\sqrt{15}}{3};\frac{\sqrt{15}}{9}\right);M_4\left(\frac{\sqrt{15}}{3};-\frac{\sqrt{15}}{9}\right)\)
Bài 1: Ta có
\(y'=0\Leftrightarrow x[2mx^2-(m+1)]=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ 2mx^2-(m+1)=0(1)\end{matrix}\right.\)
Một điểm nằm trên trục tọa độ thì tung độ hoặc hoành độ phải bằng $0$. Do đó yêu cầu đề bài được đáp ứng khi $y'=0$ có nghiệm $x=0$ hoặc nếu $x$ khác $0$ thì tung độ tương ứng phải bằng $0$
+) Nếu \(m=0\) : $(1)$ vô nghiệm . $y'=0$ có nghiệm duy nhất $x=0$ (thỏa mãn)
+) Nếu $m=-1$ : $(1)$ có nghiệm $x=0$ (thỏa mãn)
+) Nếu $-1< m< 0$. Từ \((1)\Rightarrow x^2=\frac{m+1}{2m}< 0\) (vô lý) nên $(1)$ vô nghiệm. $y'=0$ có nghiệm duy nhất $x=0$ (thỏa mãn)
+) Nếu \(m>0\) hoặc \(m< -1\)
$(1)$ có 2 nghiệm \(x=\pm \sqrt{\frac{m+1}{2m}}\neq 0\)
\(\Rightarrow y=m(\pm \sqrt{\frac{m+1}{2m}})^4-(m+1)(\pm \sqrt{\frac{m+1}{2m}})^2+(m+1)\)
\(=\frac{(m+1)^2}{4m}-\frac{(m+1)^2}{2m}+(m+1)\)
\(=(m+1)-\frac{(m+1)^2}{4m}=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=-1\\ m=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\) . Vì \(\Rightarrow m=\frac{1}{3}\)
Vậy \(-1\leq m\leq 1 \text{or m}=\frac{1}{3}\)
Bài 2:
Ta có: \(y'=4x^3+4mx=0\Leftrightarrow x(x^2+m)=0\)
Nếu $m\geq 0$. PT $y'=0$ có duy nhất nghiệm $x=0$. Ta chỉ thu được 1 điểm cực trị (loại)
Nếu $m<0$. Ngoài $x=0$ pt $y'=0$ còn có 2 nghiệm \(x=\pm \sqrt{-m}\neq 0\)
(thu được 3 cực trị)
Khi đó:
\(y=(\pm \sqrt{-m})^4+2m(\pm \sqrt{-m})^2+4=m^2-2m^2+4=4-m^2\)
Để điểm cực trị nằm trên trục tọa độ thì \(y=0\Leftrightarrow 4-m^2=0\Leftrightarrow m=-2\) (do $m< 0$)
Vậy \(m=-2\)
Câu 2:
$y'=-3x^2+6x+(m-2)=0$
Để hàm số có 2 điểm cực trị $x_1,x_2$ đồng nghĩa với PT $-3x^2+6x+(m-2)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$
$\Leftrightarrow \Delta'=9+3(m-2)>0\Leftrightarrow m>-1(1)$
Hai điểm cực trị cùng dương khi:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2>0\\ x_1x_2=\frac{m-2}{-3}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< 2(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow -1< m< 2$
Đáp án C.
Câu 2:
Để đths có 2 điểm cực trị thì trước tiên:
$y'=x^2-2mx+m^2-4=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$
Điều này xảy ra khi $\Delta'=m^2-(m^2-4)>0\Leftrightarrow m\in\mathbb{R}$
Để 2 điểm cực trị của đồ thị $y$ nằm về hai phía của trục tung thì: $x_1x_2< 0$
$\Leftrightarrow m^2-4< 0$
$\Leftrightarrow -2< m< 2$
Đáp án A.
Có 2 cách giải:
Cách 1: điều kiện bài toán tương đương với \(y=0\) có 3 nghiệm pb
\(\Leftrightarrow x^3+3x^2-2+m\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+2x-2\right)+m\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+2x+m-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x+m-2=0\) có 2 nghiệm pb khác -1
Đến đây quá đơn giản rồi
Cách 2: trong trường hợp hàm \(f\left(x\right)\) ko thuận lợi như vậy (ko thể nhẩm được nghiệm) thì bài toán tương đương tìm m để hàm có 2 giá trị cực trị trái dấu
Gọi 2 cực trị (là nghiệm của pt bậc 2 \(y'=0\) ) là \(x_1;x_2\)
Gọi d là đường thẳng đi qua 2 cực trị. Ta nhận thấy 2 giá trị cực trị trái dấu khi và chỉ khi d cắt Ox tại điểm có hoành độ \(x_0\) sao cho \(x_1< x_0< x_2\)
Do đó hướng làm như sau:
- Xét \(y'=0\) để tìm liên hệ \(x_1;x_2\) qua hệ thức Viet
- Tiến hành chia y cho y' và lấy phần dư để được pt đường thẳng d
- Tìm hoành độ giao điểm của d với Ox (phụ thuộc m)
- Từ hệ thức \(x_1< x_0< x_2\) ta sẽ tìm được khoảng của m
Giải:
a) Xét \(y'=3x^2+2mx\)
Ta thấy \(y'=3x^2+2mx=0\) có \(\Delta'=m^2>0\forall m\neq 0\) nên luôn có hai nghiệm phân biệt, đồng nghĩa với hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi \(m\neq 0\)
b) Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương với mọi giá trị của $m$ nghĩa là phương trình \(x^3+mx^2-1=0\) luôn có nghiệm dương với mọi \(m\)
Xét hàm $y$ liên tục trên tập xác định.
Nếu \(m>0\) có \(\left\{\begin{matrix} f(0)=-1<0\\ f(m+1)=(m+1)^3+m(m+1)^2-1>0\end{matrix}\right.\Rightarrow f(0).f(m+1)<0\)
Do đó phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng \((0;m+1)\), tức là nghiệm dương.
Nếu \(m<0\) có \(\left\{\begin{matrix} f(0)=-1<0\\ f(1-m)=m^2-2m>0\forall m<0\end{matrix}\right.\Rightarrow f(0).f(1-m)<0\)
Do đó phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng \((0,1-m)\) , tức nghiệm dương
Từ hai TH ta có đpcm.
c) Để pt có $3$ nghiệm phân biệt thì \(y'=3x^2+2mx\) phải có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(f(x_1)f(x_2)<0\)
Kết hợp với định lý Viete:
\(\Leftrightarrow x_1^3+x_2^3+m(x_1^2+x_2^2)-1>0\)
\(\Leftrightarrow 4m^3-27>0\Leftrightarrow m>\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\)
a) y= -x4 + 2mx2 – 2m + 1(Cm). Tập xác định: D = R
y ‘ = -4x3 + 4mx = -4x (x2 – m)
- Với m ≤ 0 thì y’ có một nghiệm x = 0 và đổi dấu + sang – khi qua nghiệm này. Do đó hàm số có một cực đại là x = 0
Do đó, hàm số có 2 cực trị tại x = ± √m và có một cực tiểu tại x = 0
b) Phương trình -x4 + 2mx2 – 2m + 1 = 0 luôn có nghiệm x = ± 1 với mọi m nên (Cm) luôn cắt trục hoành.
c) Theo lời giải câu a, ta thấy ngay:
với m > 0 thì đồ thị (Cm) có cực đại và cực tiểu.
Đạo hàm y’ = 3x2+6x+m. Ta có ∆ ' y ' = 9 - 3 m
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi ∆ ' y ' = 9 - 3 m > 0 ⇔ m < 3
Ta có
Gọi x1; x2 là hoành độ của hai điểm cực trị khi đó
Theo định lí Viet, ta có
Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi y1.y2<0
Chọn C.