Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giao điểm của đồ thị hàm số (C) và trục tung là điểm N(0;1)
Ta có : \(f'\left(x\right)=\frac{3}{\left(1-x\right)^2}\) suy ra tiếp tuyến tại điểm N là \(\left(\Delta\right):y=3x+1\Leftrightarrow\left(\Delta\right):3x-y+1=0\)
Xét điểm \(M\left(a+1;\frac{2a+3}{-a}\right)\in\left(C\right),a>0\)
Ta có : \(d_{M\\Delta }=\frac{\left|3\left(a+1\right)+\frac{2a+3}{a}+1\right|}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.\frac{3a^2+6a}{+3a}=\frac{3}{\sqrt{10}}\left(a+\frac{2}{a}+1\right)\ge\frac{3}{\sqrt{10}}\left(2\sqrt{2}+1\right)\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=\frac{2}{a}\Leftrightarrow a=\sqrt{2}\Rightarrow M\left(\sqrt{2}+1;\frac{2\sqrt{2}+5}{-\sqrt{2}}\right)\)
Ta có \(\overrightarrow{n}=\left(2;1\right)\) là vecto pháp tuyến của đường thẳng d
\(y'=3x^2-2\left(m+2\right)x+m-1\Rightarrow y'\left(1\right)=3-2m-4+m-1=-m-2\)
Gọi \(\Delta\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ bằng 1. Suy ra phương trình của \(\Delta\) có dạng \(y=y'\left(1\right)\left(x-1\right)+y\left(1\right)\)
Do đó \(\overrightarrow{n}=\left(m+2;1\right)\) là vecto pháp tuyến của \(\Delta\)
Theo đề bài ta có : \(\left|\cos\left(\overrightarrow{n_1.}\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\cos30^0\Rightarrow\frac{\left|\overrightarrow{n_1.}\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|2\left(m+2\right)+1\right|}{\sqrt{5}\sqrt{\left(m+2\right)^2+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow m^2+20m+25=0\)
\(\Leftrightarrow m=-10\pm5\sqrt{3}\)
Lần sau em đăng bài ở học 24 để mọi người giúp đỡ em nhé!
Link đây: Cộng đồng học tập online | Học trực tuyến
1. Gọi I là tâm của mặt cầu cần tìm
Vì I thuộc d
=> I( a; -1; -a)
Mặt cầu tiếp xúc với hai mặt phẳng (p), (Q). nên ta co:
d(I; (P))=d(I;(Q))
<=> \(\frac{\left|a+2\left(-1\right)+2\left(-a\right)+3\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{\left|a+2\left(-1\right)+2\left(-a\right)+7\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|-a+1\right|}{3}=\frac{\left|-a+5\right|}{3}\Leftrightarrow a=3\)
=> I(3; -1; -3) ; bán kinh : R=d(I; P)=2/3
=> Phương trình mặt cầu:
\(\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+3\right)^2=\frac{4}{9}\)
đáp án C.
2. Gọi I là tâm mặt cầu: I(1; -1; 0)
Ta có: Phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc vs mặt Cầu S tại M
=> IM vuông góc vs mặt phẳng (P)
=> \(\overrightarrow{n_p}=\overrightarrow{MI}=\left(1;0;0\right)\)
=> Phương trình mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến: \(\overrightarrow{n_p}\)và qua điểm M
1(x-0)+0(y+1)+0(z-0) =0<=> x=0
đáp án B
3.
\(f\left(x\right)=\dfrac{1}{256}\left(2x+3\right)^{10}=\dfrac{1}{256} \sum \limits_{k=0} ^{10}C_{k}^{10}(2x)^k.3^{10-k}\)
Để có hệ số x^8 thì k=8 khi đó hệ số của x^8 là:
\(\dfrac{1}{256}C_{8}^{10}.2^8.3^{10-8}=405\)
đáp án D
4.
pt <=> \(\left(2.5\right)^{x^2-3}=10^{-2}.10^{3x-3}\)
\(\Leftrightarrow10^{x^2-3}=10^{3x-5}\)
\(\Leftrightarrow x^2-3=3x-5\Leftrightarrow x^2-3x+5=0\)
=> theo định lí viet tổng các nghiệm bằng 3, tích các nghiệm bằng 5
Đáp án A
Ta có \(M\left(-1;-2\right)\)
Phương trình của (C) tại M là \(\Delta:y=y'\left(-1\right)\left(x+1\right)-2\)
hay \(\Delta:y=9x+7\)
\(\Delta\) // d \(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2+5=9\\3m+1\ne7\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m=\pm2\\m\ne2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m=-2\)
y = 2x2 + 2mx + m -1 (Cm). Đây là hàm số bậc hai, đồ thị là parabol quay bề lõm lên phía trên.
a) m = 1 ⇒ y = 2x2 + 2x
Tập xác định D = R
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}=+\infty\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
b) Tổng quát y = 2x2 + 2mx + m -1 có tập xác định D = R
y′=4x+2m=0⇔\(x=-\dfrac{m}{2}\).
Suy ra y’ > 0 với \(x>-\dfrac{m}{2}\) và \(y'< 0\) với \(x< -\dfrac{m}{2}\) tức là hàm số nghịch biến trên \(\left(-\infty;\dfrac{-m}{2}\right)\) và đồng biến trên \(\left(-\dfrac{m}{2};+\infty\right)\)
i) Để hàm số đồng biến trên khoảng (-1, +∞) thì phải có điều kiện (−1,+∞)∈(−\(\dfrac{m}{2}\),+∞)
Hay \(-\dfrac{m}{2}< -1\)\(\Leftrightarrow m>2\)
ii) Hàm số đạt cực trị tại \(x=\dfrac{m}{2}\)
Để hàm số đạt cực trị trong khoảng (-1, +∞), ta phải có:
\(-\dfrac{m}{2}\in\left(-1;+\infty\right)\) hay \(-\dfrac{m}{2}>-1\Leftrightarrow m< 2\).
c) (Cm) luôn cắt Ox tại hai điểm phân biệt
⇔ phương trình 2x2 + 2mx + m – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Ta có:
Δ’ = m2 – 2m + 2 = (m-1)2 + 1 > 0 ∀m
Vậy (Cm) luôn cắt O x tại hai điểm phân biệt.
Với m = 1, ta có \(\left(C_1\right):y=\frac{x+1}{x-1}\)
a. Gọi d là đường thẳng đi qua P, có hệ số góc k => \(d:y=k\left(x-3\right)+1\)
d là tiếp tuyến \(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{x+1}{x-1}=k\left(x-3\right)+1\\\frac{-2}{\left(x-1\right)^2}=k\end{cases}\) có nghiệm
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được :
\(\frac{x+1}{x-1}=\frac{-2}{\left(x-1\right)^2}\left(x-3\right)+1\Leftrightarrow x=2\)
\(\Rightarrow k=-2\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến : \(y=-2x+7\)
b. Gọi d là đường thẳng đi qua A, có hệ số góc k : \(d:y=k\left(x-2\right)-1\)
d là tiếp tuyến \(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{x+1}{x-1}=k\left(x-2\right)-1\\\frac{-2}{\left(x-1\right)^2}=k\end{cases}\) có nghiệm
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được :
\(\frac{x+1}{x-1}=\frac{-2}{\left(x-1\right)^2}\left(x-2\right)-1\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}\)
* \(x=\sqrt{2}\Rightarrow k=-2\left(3+2\sqrt{2}\right)\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến : \(y=-2\left(3+2\sqrt{2}\right)x+11+8\sqrt{2}\)
* \(x=-\sqrt{2}\Rightarrow k=-2\left(3-2\sqrt{2}\right)\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến : \(y=-2\left(3-2\sqrt{2}\right)x+11-8\sqrt{2}\)
a) Ta có : \(y'=3x^2+2\left(m-1\right)x+m\left(m-3\right)\)
Hàm số (1) có cực đại và cực tiểu nằm 2 phía đối với trục tung <=> phương trình : \(3x^2+2\left(m-1\right)x+m\left(m-3\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
\(\Leftrightarrow P< 0\Leftrightarrow m\left(m-3\right)< 0\Leftrightarrow0< m< 3\)
Vậy \(0< m< 3\) là giá trị cần tìm
b) Khi m = 1 ta có : \(y=x^3-2x\).
Gọi \(M\left(a;a^3-2a\right)\in\left(C\right),a\ne0\)
Ta có \(y'=3x^2-2\) nên hệ số góc của \(\Delta\) là \(y'\left(a\right)=3a^2-2\)
Ta có \(\overrightarrow{OM}\left(a;a^3-2a\right)\) nên hệ số góc đường thẳng OM là \(k=a^2-2\)
Do đó : \(\Delta\perp OM\Leftrightarrow y'_a.k=-1\)
\(\Leftrightarrow\left(3a^2-2\right)\left(a^2-2\right)=-1\Leftrightarrow3a^4-8a^2+5=0\)
\(M_1\left(1;-1\right);M_1\left(-1;1\right);M_3\left(-\frac{\sqrt{15}}{3};\frac{\sqrt{15}}{9}\right);M_4\left(\frac{\sqrt{15}}{3};-\frac{\sqrt{15}}{9}\right)\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a^2=1\\a^2=\frac{5}{3}\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a=\pm1\\a=\pm\frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}\right.\)(Thỏa mãn)
Suy ra có 4 điểm thỏa mãn đề bài :\(M_1\left(1;-1\right);M_2\left(-1;1\right);M_3\left(-\frac{\sqrt{15}}{3};\frac{\sqrt{15}}{9}\right);M_4\left(\frac{\sqrt{15}}{3};-\frac{\sqrt{15}}{9}\right)\)
Tập xác định : \(D=R\backslash\left\{1\right\}\)
Ta có \(y'=\frac{-1}{\left(x-1\right)^2}\).
Gọi \(M\left(x_o;y_0\right)\) là tiếp điểm
a) Ta có \(y_0=0\Rightarrow x_0=\frac{1}{2}\Rightarrow y'\left(x_0\right)=-4\)
Phương trình tiếp tuyến là : \(y=-4x+2\)
b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) :
\(\frac{2x-1}{x-1}=x+1\Leftrightarrow x^2-2x=0\Leftrightarrow x=0;x=2\)
* \(x_0=0\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến là : \(y=-x\left(x-0\right)+1=-x+1\)
* \(x_0=2\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến là : \(y=-x+5\)
c) Ta có phương trình của đường thẳng \(\Delta:y-\frac{2x_0-1}{x_0-1}=\frac{-1}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0\right)\)
hay \(\Delta:\frac{1}{\left(x_0-1\right)^2}x+y-\frac{x_0}{\left(x_0-1\right)^2}-\frac{2x_0-1}{x_0-1}=0\)
Ta có : \(d\left(I;\Delta\right)=\frac{\left|\frac{2}{x_0-1}\right|}{\sqrt{\frac{1}{\left(x_0-1\right)^4}+1}}\le\sqrt{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x_0-1\right)^4=1\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x_0=0\\x_0=2\end{array}\right.\)
Suy ra có 2 tiếp tuyến là : \(\Delta_1:y=-x+1\)
\(\Delta_2:y=-x+5\)
d) Ta có : \(\Delta Ox=A\left(2x^2_0-2x_0+1;0\right)\)
\(OA=1\Leftrightarrow\left|2x^2_0-2x_0+1\right|=1\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x_0=0\\x_0=1\end{array}\right.\)
Suy ra phương trình tiếp tuyến là : \(y=-x+1\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và d :
\(\frac{2x+3}{x+2}=-2x+m\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x\ne-2\\2x^2+\left(6-m\right)x+3-2m=0\end{cases}\) (*)
Xét phương trình (*), ta có \(\Delta>0\), mọi \(m\in R\) và x=-2 không là nghiệm của (*) nên d luôn cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B với mọi m
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, tại B lần lượt là :
\(k_1=\frac{1}{\left(x_1+1\right)^2};k_2=\frac{1}{\left(x_2+1\right)^2}\) trong đó \(x_1,x_2\) là 2 nghiệm của phương trình (*)
Ta thấy :
\(k_1.k_2=\frac{1}{\left(x_1+1\right)^2.\left(x_2+1\right)^2}=\frac{1}{\left(x_1x_2+2x_1+2x_2+4\right)^2}=4\) (\(k_1>0;k_2>0\) )
Có \(P=\left(k_1\right)^{2014}+\left(k_2\right)^{2014}\ge2\sqrt{\left(k_1k_2\right)^{2014}}=2^{2015}\)
Do đó , Min \(P=2^{2015}\) đạt được khi và chỉ khi \(k_1=k_2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x_1+2\right)^2}=\frac{1}{\left(x_2+2\right)^2}\Leftrightarrow\left(x_1+2\right)^2=\left(x_2+2\right)^2\)
Do \(x_1,x_2\) phân biệt nên ta có \(x_1+2=-x_2-2\)
\(\Leftrightarrow x_1+x_2=-4\Leftrightarrow m=-2\)
Vậy giá trị cần tìm là \(m=-2\)
+ Do A thuộc (C ) nên A( 1; 1-m) .
Đạo hàm y’ = 4x3-4mx nên y’ (1) = 4-4m .
+ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là y- 1+ m= y’ (1) (x-1) ,
Hay (4-4m) x-y-3( 1-m) = 0.
+ Khi đó d ( B ; ∆ ) = - 1 16 ( 1 - m ) 2 + 1 ≤ 1 , Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi khi m= 1.
Do đó khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất bằng 1 khi và chỉ khi m= 1.
Chọn B.