Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Hướng dẫn:
Ta có hàm số \(y=(x^2-4x+4)(x+1)=x^3-3x^2+4\) có đồ thị (C)
M nằm trên (C) , hoành độ dương nên có tọa độ \(M(a;a^3-3a^2+4)\) với \(a>0\)
Tính y' rồi lập viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điêm M, lập hệ phương trình giao điêm của tiếp tuyến với (C), tìm ra tọa độ 2 điểm M,N rồi thay vào điều kiện MN=3 đê ra kết quả
Chúc bạn học tốt ^^
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M, N thì \(x_M;x_N\) là nghiệm của phương trình :
\(f'\left(x\right)=k\Leftrightarrow3x^2-6x-k=0\)
Để tồn tại hai tiếp điểm M, N thì phải có \(\Delta'>0\Leftrightarrow k>-3\)
Ta có \(y=f'\left(x\right)\left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)-2x+2\)
Từ \(f'\left(x_M\right)=f'\left(x_N\right)=k\) suy ra phương trình đường thẳng MN là :
\(y=\left(\frac{k}{3}-2\right)x+2-\frac{k}{3}\), khi đó \(A\left(1;0\right);B\left(0;\frac{6-k}{3}\right)\)
Ta có \(AB^2=10\Leftrightarrow k=15\) (do k > -3)
Từ đó ta có 2 tiếp tuyến cần tìm là :
\(y=15x-12\sqrt{6}-15\)
\(y=15x+12\sqrt{6}-15\)
Lời giải:
PT hoành độ giao điểm:
\(mx+2m+1-\frac{2x+1}{x+1}=0\Leftrightarrow mx^2+x(3m-1)+2m=0\)
Để hai ĐTHS cắt nhau tại hai điểm $A,B$ thì \(m\neq 0\) và:
\(\Delta=(3m-1)^2-8m^2=m^2-6m+1>0\)
Khi đó áp dụng hệ thức Viete có \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{1-3m}{m}\\ x_1x_2=2\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(d(A,Ox)=d(B,Ox)\Leftrightarrow |mx_1+2m+1|=|mx_2+2m+1|\)
TH1: \(mx_1+2m+1=mx_2+2m+1\Leftrightarrow x_1=x_2\)
\(\Rightarrow x_1=x_2=\sqrt{2}\Rightarrow \frac{1-3m}{m}=2\sqrt{2}\) kéo theo \(m=\frac{1}{2\sqrt{2}+3}\) (không thỏa mãn đk của \(\Delta)\)
TH2: \(mx_1+2m+1=-(mx_2+2m+1)\Leftrightarrow m(x_1+x_2)+4m+2=0\)
\(\Leftrightarrow 3+m=0\Rightarrow m=-3\) (t/m)
Vậy $m=-3$
Phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) tại \(M\left(x_0;-x^3_0+3x_0-2\right)\) là :
\(y=\left(-3x^2_0+3\right)\left(x-x_0\right)-x_0^3+3x_0-2\)
Gọi N (a;0) thuộc trục hoành. Vì \(N\in\Delta\) nên \(0=\left(-3x^2_0+3\right)\left(a-x_0\right)-x_0^3+3x_0-2\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x_0=1\\g\left(x_0\right)=2x_0^2+\left(2-3a\right)x_0+2-3a=0\end{array}\right.\) (*)
Để từ N kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) thì phương trình \(f\left(x_0\right)=0\) phải có hệ nghiệm phân biệt khác 1
Điều này tương đương với :
\(\begin{cases}\Delta=\left(2-3a\right)^2-8\left(2-3a\right)>0\\g\left(1\right)6-6a\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow a\in\left(-\infty;-2\right)\cup\left(\frac{2}{3};+\infty\right)\backslash\left\{1\right\}\)
Giả sử \(x_3=1\) thì \(x_1;x_2\) là nghiệm phương trình (*) nên theo Viet ta có :
\(\begin{cases}x_1+x_2=\frac{3a-2}{2}\\x_1.x_2=\frac{2-3a}{2}\end{cases}\)
Ta có \(x_1^3+x_2^3+x_3^3=21\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=20\)
\(\Leftrightarrow\left(3a-2\right)^3+6\left(3a-2\right)^2-160=0\)
\(\Leftrightarrow3a-2=4\Leftrightarrow a=2\) (thỏa mãn)
Vậy ta có \(N\left(2;0\right)\)
a. Ta có : \(y'=3x^2-6x+2\)
\(x_0=1\Leftrightarrow y_0=-6\) và \(y'\left(x_0\right)=y'\left(-1\right)=11\)
Suy ra phương trình tiếp tuyến là \(y=y'\left(-1\right)\left(x+1\right)-6=11x+5\)
b. Gọi \(M\left(x_0;6\right)\) là tiếp điểm, ta có :
\(x_0^3-3x_0^2+2x_0=6\Leftrightarrow\left(x_0-3\right)\left(x_0^2+2\right)=0\Leftrightarrow x_0=3\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là :
\(y=y'\left(3\right)\left(x-3\right)+6=11x-27\)
c. PTHD giao điểm của (C) với Ox :
\(x^3-3x^2+2x=0\Leftrightarrow x=0;x=1;x=2\)
* \(x=0\) ta có tiếp tuyến : \(y=y'\left(0\right)\left(x-0\right)+0=2x\)
* \(x=1\) ta có tiếp tuyến : \(y=y'\left(1\right)\left(x-1\right)+0=-x+1\)
* \(x=2\) ta có tiếp tuyến : \(y=y'\left(2\right)\left(x-2\right)+0=2x-4\)
Đáp số M(1;0) 
Ai chỉ giúp em cách làm với ạ 
