Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
y = 2x2 + 2mx + m -1 (Cm). Đây là hàm số bậc hai, đồ thị là parabol quay bề lõm lên phía trên.
a) m = 1 ⇒ y = 2x2 + 2x
Tập xác định D = R
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}=+\infty\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
b) Tổng quát y = 2x2 + 2mx + m -1 có tập xác định D = R
y′=4x+2m=0⇔\(x=-\dfrac{m}{2}\).
Suy ra y’ > 0 với \(x>-\dfrac{m}{2}\) và \(y'< 0\) với \(x< -\dfrac{m}{2}\) tức là hàm số nghịch biến trên \(\left(-\infty;\dfrac{-m}{2}\right)\) và đồng biến trên \(\left(-\dfrac{m}{2};+\infty\right)\)
i) Để hàm số đồng biến trên khoảng (-1, +∞) thì phải có điều kiện (−1,+∞)∈(−\(\dfrac{m}{2}\),+∞)
Hay \(-\dfrac{m}{2}< -1\)\(\Leftrightarrow m>2\)
ii) Hàm số đạt cực trị tại \(x=\dfrac{m}{2}\)
Để hàm số đạt cực trị trong khoảng (-1, +∞), ta phải có:
\(-\dfrac{m}{2}\in\left(-1;+\infty\right)\) hay \(-\dfrac{m}{2}>-1\Leftrightarrow m< 2\).
c) (Cm) luôn cắt Ox tại hai điểm phân biệt
⇔ phương trình 2x2 + 2mx + m – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Ta có:
Δ’ = m2 – 2m + 2 = (m-1)2 + 1 > 0 ∀m
Vậy (Cm) luôn cắt O x tại hai điểm phân biệt.
a) Ta có : \(y'=3x^2+2\left(m-1\right)x+m\left(m-3\right)\)
Hàm số (1) có cực đại và cực tiểu nằm 2 phía đối với trục tung <=> phương trình : \(3x^2+2\left(m-1\right)x+m\left(m-3\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
\(\Leftrightarrow P< 0\Leftrightarrow m\left(m-3\right)< 0\Leftrightarrow0< m< 3\)
Vậy \(0< m< 3\) là giá trị cần tìm
b) Khi m = 1 ta có : \(y=x^3-2x\).
Gọi \(M\left(a;a^3-2a\right)\in\left(C\right),a\ne0\)
Ta có \(y'=3x^2-2\) nên hệ số góc của \(\Delta\) là \(y'\left(a\right)=3a^2-2\)
Ta có \(\overrightarrow{OM}\left(a;a^3-2a\right)\) nên hệ số góc đường thẳng OM là \(k=a^2-2\)
Do đó : \(\Delta\perp OM\Leftrightarrow y'_a.k=-1\)
\(\Leftrightarrow\left(3a^2-2\right)\left(a^2-2\right)=-1\Leftrightarrow3a^4-8a^2+5=0\)
\(M_1\left(1;-1\right);M_1\left(-1;1\right);M_3\left(-\frac{\sqrt{15}}{3};\frac{\sqrt{15}}{9}\right);M_4\left(\frac{\sqrt{15}}{3};-\frac{\sqrt{15}}{9}\right)\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a^2=1\\a^2=\frac{5}{3}\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a=\pm1\\a=\pm\frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}\right.\)(Thỏa mãn)
Suy ra có 4 điểm thỏa mãn đề bài :\(M_1\left(1;-1\right);M_2\left(-1;1\right);M_3\left(-\frac{\sqrt{15}}{3};\frac{\sqrt{15}}{9}\right);M_4\left(\frac{\sqrt{15}}{3};-\frac{\sqrt{15}}{9}\right)\)
\(y'=2x^2-6\left(m+1\right)x+9\)
Để hàm số có cực đại, cực tiểu
\(\Delta'=9\left(m+1\right)^2=3.9>0\)
\(=\left(m+1\right)^2-3>0\)
\(\Leftrightarrow m\in\left(-\infty;-1-\sqrt{3}\right)\cup\left(-1+\sqrt{3};+\infty\right)\)
Ta có : \(y=\left(\frac{1}{3}x-\frac{m+1}{3}\right)\left(3x^2-6\left(m+1\right)x+9\right)-2\left(m^2+2m-2\right)x+4m+1\)
Gọi tọa độ điểm cực đại và cực tiểu là \(\left(x_1;y_1\right)\) và \(\left(x_2;y_2\right)\)
=> \(y_1=-2\left(m^2+2m-2\right)x_1+4m+1\)
\(y_2=-2\left(m^2+2m-2\right)x_2+4m+1\)
Vậy đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là
\(y=-2\left(m^2+2m-2\right)x+4m+1\)
Vì 2 điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x\) ta có điều kiện cần là :
\(\left[-2\left(m^2+2m-2\right)\right]\frac{1}{2}=-1\)
\(\Leftrightarrow m^2+2m-2=1\)
\(\Leftrightarrow m^2+2m-3=0\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}m=1\\m=-3\end{cases}\)
Theo định lí Viet ta có \(\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=3\end{cases}\)
Khi m =1 => phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là
\(y=-2x+5\)
Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiểu là :
\(\begin{cases}\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{4}{2}=2\\\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{-2\left(x_1+x_2\right)+10}{2}=1\end{cases}\)
Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiểu là (2;1) thuộc đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x\Rightarrow m=1\) thỏa mãn
Khi m=-3 phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là y=-2x-11
(làm tương tự cách như trên)
a) (0 ; -1) ∈ (G) ⇔
b) m = 0 ta được hàm số có đồ thị (G0).
(HS tự khảo sát và vẽ đồ thị).
c) (G0) cắt trục tung tại M(0 ; -1). => y'(0) = -2.
Phương trình tiếp tuyến của (G0) tại M là : y - (-1) = y'(0)(x - 0) ⇔ y= -2x - 1.
a) y = f(x) = x3 – 3mx2 + 3(2m-1)x + 1
Tập xác định: D = R
y’= 3x2 -6mx + 3(2m-1) = 3(x2 – 2mx + 2m – 1)
Hàm số đồng biến trên D = R ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ R
⇔ x2 – 2mx + 2m - 1≥0, ∀x ∈ R
⇔ Δ’ = m2 – 2m + 1 = (m-1)2 ≤ 0 ⇔ m =1
b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu
⇔ phương trình y’= 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ (m-1)2 > 0 ⇔ m≠1
c) f’’(x) = 6x – 6m > 6x
⇔ -6m > 0 ⇔ m < 0
. Tập xác định : R 
{
} ;
và 
;
) ∈ ∆ ⇔ 
.