Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án C.
Ta có
1 = x + y ≥ 2 x y ⇒ x y ≤ 1 2 ⇒ 0 ≤ x y ≤ 1 4
⇒ P = x 2 + x + y 2 + y x y + x + y + 1 = x + y 2 − 2 x y + 1 x y + 1 + 1 = 2 − 2 x y x y + 2
Đặt t = x y ⇒ t ∈ 0 ; 1 4 ⇒ P = 2 − 2 t t + 2 = f t
Bảng biến thiên:
=> M + m = 5 3
7/ Em sửa lại đề ạ
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a+b=4ab
Chứng minh rằng \(\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\ge\frac{1}{2}\)
Đổi biến \(\left(a,b\right)\rightarrow\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y}\right)\)
Từ giả thiết => x+y=4
Ta có: BĐT cần CM tương đương với:
\(\frac{\frac{1}{x}}{\frac{4}{y^2}+1}+\frac{\frac{1}{y}}{\frac{4}{x^2}+1}\ge\frac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow\frac{y^2}{x\left(4+y^2\right)}+\frac{x^2}{y\left(4+x^2\right)}\ge\frac{1}{2}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Schwarz, ta có:
∑\(\frac{x^2}{y\left(4+x^2\right)}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)+xy^2+x^2y}=\frac{16}{16+xy^2+x^2y}\)
Ta chỉ cần chứng minh:
\(xy^2+x^2y\le16\Leftrightarrow xy^2+x^2y\le\frac{1}{4}\left(x+y\right)^3\)
\(\Leftrightarrow xy^2+x^2y\le x^3+y^3\)(luôn đúng)
Do đó (1) đúng. BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi x=y=2⇔a=b=\(\frac{1}{2}\)
6. (chuyên Hòa Bình)
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: xy+zx+4yz=32
Tìm giá trị nhỏ nhất của\(P=x^2+16y^2+16z^2\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương x,y,z ta có
\(\hept{\begin{cases}8y^2+\frac{1}{2}x^2\ge2\sqrt{8y^2.\frac{1}{2}x^2}=4xy\\8z^2+\frac{1}{2}x^2\ge2\sqrt{8z^2.\frac{1}{2}x^2}=4xz\\8y^2+8z^2\ge2\sqrt{8y^2.8z^2}=16yz\end{cases}}\)
Cộng từng vế của ba bđt trên ta có
\(P\ge4\left(xy+xz+4yz\right)=4.32=128\)
Thay y = 4 x vào biểu thức P và biến đổi ta thu được
P = - 9 log 2 2 + 27 log 2 x - 27 .
Do y ≥ 1 nên x ≤ 4 . Suy ra 1 2 ≤ x ≤ 4 . Đặt t = log 2 x , khi đó - 1 ≤ t ≤ 2 .
Xét hàm số f(t0 = - 9 t 2 + 27t - 27; t ∈ - 1 ; 2
Ta có f ' (t) = -18t + 27; f ' (t) = 0 ⇔ t = 3 2
f (-1) = -63; f (2) = -9; f 3 2 = 27 4
Vậy
m a x P = - 27 4 ⇔ x = 2 2 ; y = 2
Đáp án A
Chọn đáp án B
Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện.
Chọn C.
Dựa vào đồ thị hàm số f ' ( x ) suy ra BBT của hàm số y = f(x)
Khẳng định 1, 2, 5 đúng, khẳng định 4 sai.
Xét khẳng định 3: Ta có:
f ( 3 ) + f ( 2 ) = f ( 0 ) + f ( 1 ) ⇒ f ( 3 ) - f ( 0 ) = f ( 1 ) - f ( 2 ) > 0
Do đó f ( 3 ) > f ( 0 ) ⇒ Vậy khẳng định 3 đúng.
Đáp án C
P = 4 x y 2 x + x 2 + 4 y 2 P = 4 y x 2 1 + 1 + 4 y x 2 3
Đặt 1 + 4 y x 2 = t , t ≥ 1 ⇒ 4 y x 2 = t 2 − 1
Ta được hàm:
f ( t ) = t 2 − 1 1 + t 3 = t − 1 1 + t 2 , t ≥ 1 f ' ( t ) = − t 2 + 2 t + 3 1 + t 4 f ' ( t ) = 0 ⇔ t = − 1 ( L ) t = 3
Vậy max P = max [ 1 ; + ∞ ) f ( t ) = 1 8