Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(VT=\frac{c+ab}{a+b}+\frac{b+ac}{a+c}+\frac{a+bc}{b+c}\)
\(=\frac{c\left(a+b+c\right)+ab}{a+b}+\frac{b\left(a+b+c\right)+ac}{a+c}+\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}\)
\(=\frac{ac+bc+c^2+ab}{a+b}+\frac{ab+b^2+cb+ac}{a+c}+\frac{a^2+ab+ac+bc}{b+c}\)
\(=\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{a+b}+\frac{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}{a+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}\)
Hình như là \(\ge2\) mới đúng bạn ạ :v
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương ta có \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\). Do đó nếu đặt \(t=\sqrt[3]{abc}\) t hì \(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\left(t+\frac{1}{t}\right)\) . Chú ý rằng từ giả thiết
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}=1\) suy ra \(a^2+b^2+c^2=abc\) từ đó
\(abc=a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow a^3b^3c^3\ge27a^2b^2c^2\Rightarrow abc\ge27\)\(\Rightarrow t\ge3\).
Do đó \(t+\frac{1}{t}=\frac{8t}{9}+\frac{t}{9}+\frac{1}{t}\ge\frac{8.3}{9}+2\sqrt{\frac{t}{9}.\frac{1}{t}}=\frac{10}{3}\). Suy ra
\(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\left(t+\frac{1}{t}\right)\ge\frac{3.10}{3}=10\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c>0\\t=\sqrt[3]{abc}=3\\a^2+b^2+c^2=abc\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow a=b=c=3\).
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\)\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\)\(\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)(đpcm)
Dau "=" xay ra khi a=b=c
Dùng Cauchy-Schwarz ngon rồi nhưng nếu bạn muốn cách nữa thì dùng AM-GM:
\(\frac{a^3}{b}+ab\geq 2\sqrt{a^4}=2a^2\). Tương tự với các phân thức còn lại:
\(\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)\) \((1)\)
Có BĐT quen thuộc là \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\) \((2)\)
BĐT nàyđúng vì nó tương đương \((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0\)
Từ \((1),(2)\Rightarrow \text{VT}\geq ab+bc+ac\) (đpcm)
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có
\(\frac{ab\sqrt{ab}}{a+b}\le\frac{ab\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}}=\frac{ab}{2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\frac{bc\sqrt{bc}}{b+c}\le\frac{bc}{2};\frac{ac\sqrt{ac}}{a+c}\le\frac{ac}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT=Σ\frac{ab\sqrt{ab}}{a+b}\le\frac{ab+bc+ca}{2}=VP\)
Khi \(a=b=c\)
b)Áp dụng tiếp AM-GM:
\(b\sqrt{a-1}\le\frac{b\left(a-1+1\right)}{2}=\frac{ab}{2}\)
\(a\sqrt{b-1}\le\frac{a\left(b-1+1\right)}{2}=\frac{ab}{2}\)
Cộng theo vế 2 BĐT trên ta có:
\(VT=b\sqrt{a-1}+a\sqrt{b-1}\le ab=VP\)
Khi \(a=b=1\)
\(0< a,b,c< 1\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}ab< a;a^2< a\\bc< b;b^2< b\\ca< c;c^2< c\end{cases}}\)
\(a\ge b\ge c\)
\(\frac{1}{3}\le a< 1\Rightarrow\left(a-\frac{1}{3}\right)\left(a-1\right)\le0\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{3}{ab+bc+ca}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2>14\)
aaaaaaaa bỏ mấy đoạn trên đi nha >_< vẽ bùa đó, lấy mỗi đoạn dưới thôi
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\)
\(=\frac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{b^4}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{c^4}{c^3+ac^2+ca^2}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(a+c\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)
\(\ge\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{3}\)
\(VT=\frac{c+ab}{a+b}+\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ac}{a+c}\)
\(=\frac{c\left(a+b+c\right)+ab}{a+b}+\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}+\frac{b\left(a+b+c\right)+ac}{a+c}\)
\(=\frac{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}{a+b}+\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}{a+b}+\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}\ge2\left(a+c\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế
\(2VT\ge4\left(a+b+c\right)=4=2VP\Rightarrow VT\ge VP\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
tuổi con HN là :
50 : ( 1 + 4 ) = 10 ( tuổi )
tuổi bố HN là :
50 - 10 = 40 ( tuổi )
hiệu của hai bố con ko thay đổi nên hiệu vẫn là 30 tuổi
ta có sơ đồ : bố : |----|----|----|
con : |----| hiệu 30 tuổi
tuổi con khi đó là :
30 : ( 3 - 1 ) = 15 ( tuổi )
số năm mà bố gấp 3 tuổi con là :
15 - 10 = 5 ( năm )
ĐS : 5 năm
mình nha
\(VT=\frac{c+ab}{a+b}+\frac{b+ac}{a+c}+\frac{a+bc}{b+c}\)
\(=\frac{c\left(a+b+c\right)+ab}{a+b}+\frac{b\left(a+b+c\right)+ac}{a+c}+\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}\)
\(=\frac{ac+bc+c^2+ab}{a+b}+\frac{ab+b^2+cb+ac}{a+c}+\frac{a^2+ab+ac+bc}{b+c}\)
\(=\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{a+b}+\frac{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}{a+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}\)
lm nhuthe thi no lon hon = 2 alk