Câu hỏi của Minz Ank

Question

Cho a,b > 0 và a + b ≤ 4. Tìm Min P = 4/ a²

Trần Tuấn Hoàng · Accepted Answer

$P=\dfrac{4}{a^2+b^2}+\dfrac{3}{ab}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

$\left(\dfrac{4}{a^2+b^2}+\dfrac{3}{ab}\right)\left[4\left(a^2+b^2\right)+12ab\right]\ge\left[\sqrt{\dfrac{4}{a^2+b^2}.4\left(a^2+b^2\right)}+\sqrt{\dfrac{3}{ab}.12ab}\right]^2=100$

$\Rightarrow P\ge\dfrac{100}{4\left(a^2+b^2\right)+12ab}=\dfrac{100}{4\left(a+b\right)^2+4ab}=\dfrac{25}{\left(a+b\right)^2+ab}$

$\Rightarrow P\ge\dfrac{25}{4^2+ab}=\dfrac{25}{16+ab}$ (vì $a+b\le4$).

Mặt khác ta có: $ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\le\dfrac{4^2}{4}=4$

$\Rightarrow P\ge\dfrac{25}{16+4}=\dfrac{5}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2$.

Vậy $MinP=\dfrac{5}{4}$, đạt tại $a=b=2$

Câu trả lời:

$P=\dfrac{4}{a^2+b^2}+\dfrac{3}{ab}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

$\left(\dfrac{4}{a^2+b^2}+\dfrac{3}{ab}\right)\left[4\left(a^2+b^2\right)+12ab\right]\ge\left[\sqrt{\dfrac{4}{a^2+b^2}.4\left(a^2+b^2\right)}+\sqrt{\dfrac{3}{ab}.12ab}\right]^2=100$

$\Rightarrow P\ge\dfrac{100}{4\left(a^2+b^2\right)+12ab}=\dfrac{100}{4\left(a+b\right)^2+4ab}=\dfrac{25}{\left(a+b\right)^2+ab}$

$\Rightarrow P\ge\dfrac{25}{4^2+ab}=\dfrac{25}{16+ab}$ (vì $a+b\le4$).

Mặt khác ta có: $ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\le\dfrac{4^2}{4}=4$

$\Rightarrow P\ge\dfrac{25}{16+4}=\dfrac{5}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2$.

Vậy $MinP=\dfrac{5}{4}$, đạt tại $a=b=2$

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP