Question

[Nguyễn Minh Quân]

Cho phương trình: \(x^2\) - 2 ( m -1 ) x - m -3 = 0 (1)

a) Giải phương trình với m = -3

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn: \(\left(x_1-x_2\right)^2\) = 4\(m^2\) - 5 x1 + x2

Answer 1

[Hquynh]

a, Thay \(m=-3\) vào \(\left(1\right)\)

\(x^2-2.\left(m-1\right)x-m-3=0\\ \Leftrightarrow x^2-2.\left(-3-1\right)x+3-3=0\\ \Leftrightarrow x^2+8x=0\\ \Leftrightarrow x\left(x+8\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-8\end{matrix}\right.\)

Vậy với \(m=-3\) thì \(x=0;x=-8\)

b,  

\(\Delta'=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-1.\left(-m-3\right)\\ =m^2-2m+1+m+3\\ =m^2-m+4\)

phương trình có hai nghiệm phân biệt

 \(\Delta'>0\\ m^2-m+4>0\\ \Rightarrow m^2-2.\dfrac{1}{2}m+\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{2}>0\\ \Leftrightarrow\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{2}>0\left(lđ\right)\)

\(\Rightarrow\forall m\)

Áp dụng hệ thức Vi ét :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-m-3\end{matrix}\right.\)

\(\left(x_1-x_2\right)^2=4m^2-5\left(x_1+x_2\right)\\ \Leftrightarrow x_1^2+2x_1.x_2+x^2_2-4x_1x_2=4m^2-5\left(x_1+x_2\right)\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4m^2-5\left(x_1+x_2\right)\\ \Leftrightarrow\left(2.\left(m-1\right)\right)^2-4.\left(-m-3\right)=4m^2-5.\left(-m-3\right)\\ \Leftrightarrow4m^2-8m+4+4m+12-4m^2-5m-15=0\\ \Leftrightarrow-9m+1=0\\ \Leftrightarrow m=\dfrac{1}{9}\)

Vậy \(m=\dfrac{1}{9}\)

Answer 2

[Đỗ Tuệ Lâm]

a.

Thế m = -3 vào phương trình (1) ta được:

\(x^2-2\left(-3-1\right)x-\left(-3\right)-3=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(x^2+8x=0\)

 \(\Leftrightarrow x\left(x+8\right)=0\\ \Rightarrow x_1=0,x_2=-8\)

b.

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì:

\(\Delta>0\\ \Leftrightarrow\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4.1.\left(-m-3\right)>0\)

\(\Leftrightarrow4.\left(m^2-2m+1\right)+4m+12>0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4+4m+12>0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4m+16>0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-4m+1+15>0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^2+15>0\)

Vì \(\left(2m-1\right)^2\) luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi m nên phương trình (1) có nghiệm với mọi m.

Theo viét:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\\x_1x_2=-m-3\end{matrix}\right.\) (I)

có:

\(\left(x_1-x_2\right)^2=4m^2-5x_1+x_2\)

<=> \(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2-4m^2+5x_1-x_2=0\)

<=> \(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2-4m^2+5x_1-x_2=0\)

<=> \(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2-4m^2+5x_1-x_2=0\)

<=> \(\left(2m-2\right)^2-4.\left(-m-3\right)-4m^2+5x_1-x_2=0\)

<=> \(4m^2-8m+4+4m+12-4m^2+5x_1-x_2=0\)

<=> \(-4m+16+5x_1-x_2=0\)

<=> \(5x_1-x_2=4m-16\) (II)

Từ (I) và (II) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}5x_1-x_2=4m-16\left(2\right)\\x_1+x_2=2m-2\left(3\right)\\x_1x_2=-m-3\left(4\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (2) ta có:

\(x_1=\dfrac{4m-16+x_2}{5}=\dfrac{4}{5}m-3,2+\dfrac{1}{5}x_2\) (x)

Thế (x) vào (3) được:

\(\dfrac{4}{5}m-3,2+\dfrac{1}{5}x_2+x_2=2m-2\)

<=> \(\dfrac{4}{5}m-3,2+\dfrac{1}{5}x_2+x_2-2m+2=0\)

<=>  \(-1,2m-1,2+1,2x_2=0\)

<=> \(x_2=1,2m+1,2\) (xx)

Thế (xx) vào (3) được:

\(x_1+1,2m+1,2=2m-2\)

<=> \(x_1+1,2m+1,2-2m+2=0\)

<=> \(x_1-0,8m+3,2=0\)

<=> \(x_1=-3,2+0,8m\) (xxx)

Thế (xx) và (xxx) vào (4) được:

\(\left(-3,2+0,8m\right)\left(1,2m+1,2\right)=-m-3\)

<=> \(-3,84m-3,84+0,96m^2+0,96m+m+3=0\)

<=> \(0,96m^2-1,88m-0,84=0\)

\(\Delta=\left(-1,88\right)^2-4.0,96.\left(-0,84\right)=6,76\)

\(m_1=\dfrac{1,88+\sqrt{6,76}}{2.0,96}=\dfrac{7}{3}\left(nhận\right)\)

\(m_2=\dfrac{1,88-\sqrt{6,76}}{2.0,96}=-\dfrac{3}{8}\left(nhận\right)\)

T.Lam