Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Để ý rằng \(\log _3(3^{x+1}-3)=\log_3[3(3^x-1)]=1+\log_3(3^x-1)\)
Đặt \(\log_3(3^x-1)=t\). Khi đó PT tương đương:
\(t(t+1)=6\Leftrightarrow (t-2)(t+3)=0\Rightarrow \)\(\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=-3\end{matrix}\right.\)
Nếu \(t=2\rightarrow 3^x-1=9\Leftrightarrow 3^x=10\rightarrow x=\log_3(10)\)
Nếu \(t=-3\Rightarrow 3^x-1=\frac{1}{27}\Rightarrow 3^x=\frac{28}{27}\Rightarrow x=\log_3\left (\frac{28}{27}\right)\)
Lời giải:
Ta có: \(\log_3(9^{x+1})\log_3(9^x+1)=3\)
\(\Leftrightarrow (x+1)\log_39\log_3(9^x+1)=3\)
\(\Leftrightarrow (x+1)\log_3(9^x+1)=\frac{3}{2}\)
Từ đây suy ra \(x+1\neq 0\)
\(\Rightarrow \log_3(9^x+1)=\frac{3}{2(x+1)}\)
\(\Leftrightarrow 9^x+1=3^{\frac{3}{2(x+1)}}\) (*)
Đạo hàm vế trái: \((9^x+1)'=\ln 9.9^x>0\), hàm đồng biến
Đạo hàm vế phải: \((3^{\frac{3}{2(x+1)}})'=\frac{-3}{2(x+1)^2}.\ln 3.3^{\frac{3}{2(x+1)}}<0\), hàm nghịch biến
Do đó PT (*) có một nghiệm duy nhất.
Đến đây việc còn lại là dò nghiệm duy nhất đó.
\(x\approx 0,3795\)
Điều kiện x>0. Nhận thấy x=2 là nghiệm.
Nếu x>2 thì
\(\frac{x}{2}>\frac{x+2}{4}>1\); \(\frac{x+1}{3}>\frac{x+3}{5}>1\)
Suy ra
\(\log_2\frac{x}{2}>\log_2\frac{x+2}{4}>\log_4\frac{x+2}{4}\)hay :\(\log_2x>\log_2\left(x+2\right)\)
\(\log_3\frac{x+1}{3}>\log_3\frac{x+3}{5}>\log_5\frac{x+3}{5}\) hay \(\log_3\left(x+1\right)>\log_5\left(x+3\right)\)
Suy ra vế trái < vế phải, phương trình vô nghiệm.
Đáp số x=2
Điều kiện \(\begin{cases}x\ne1\\x>\frac{1}{2}\end{cases}\)
\(\log_3\left(x-1\right)^2+\log_{\sqrt{3}}\left(2x-1\right)=2\Leftrightarrow2\log_3\left|x-1\right|+2\log_3\left(2x-1\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\log_3\left|x-1\right|\left(2x-1\right)=\log_33\)
\(\Leftrightarrow\left|x-1\right|\left(2x-1\right)=3\)
\(\frac{1}{2}\)<x<1 và \(2x^2-3x+4=0\)
hoặc x>1 và \(2x^2-3x-2=0\)
\(\Leftrightarrow x=2\) thỏa mãn điều kiện. Vậy x=2
Đặt :
\(t=\sqrt{x^2-5x+5}\left(t\ge0\right)\)
Bất phương trình trở thành :
\(\log_2\left(t+1\right)+\log_3\left(t^2+2\right)\le2\)
Xét \(f\left(t\right)=\log_2\left(t+1\right)+\log_3\left(t^2+2\right)\) trên \(\left(0;+\infty\right)\)
Do \(t\ge0\) nên \(\log_2\left(t+1\right)\) và \(\log_3\left(t^2+2\right)\) đều là các hàm số đồng biến, do đó f(t) đồng biến trên \(\left(0;+\infty\right)\)
14.
\(log_aa^2b^4=log_aa^2+log_ab^4=2+4log_ab=2+4p\)
15.
\(\frac{1}{2}log_ab+\frac{1}{2}log_ba=1\)
\(\Leftrightarrow log_ab+\frac{1}{log_ab}=2\)
\(\Leftrightarrow log_a^2b-2log_ab+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(log_ab-1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow log_ab=1\Rightarrow a=b\)
16.
\(2^a=3\Rightarrow log_32^a=1\Rightarrow log_32=\frac{1}{a}\)
\(log_3\sqrt[3]{16}=log_32^{\frac{4}{3}}=\frac{4}{3}log_32=\frac{4}{3a}\)
11.
\(\Leftrightarrow1>\left(2+\sqrt{3}\right)^x\left(2+\sqrt{3}\right)^{x+2}\)
\(\Leftrightarrow\left(2+\sqrt{3}\right)^{2x+2}< 1\)
\(\Leftrightarrow2x+2< 0\Rightarrow x< -1\)
\(\Rightarrow\) có \(-2+2020+1=2019\) nghiệm
12.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2>0\\0< log_3\left(x-2\right)< 1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>2\\1< x-2< 3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow3< x< 5\Rightarrow b-a=2\)
13.
\(4^x=t>0\Rightarrow t^2-5t+4\ge0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t\le1\\t\ge4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4^x\le1\\4^x\ge4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le0\\x\ge1\end{matrix}\right.\)
\(\log_3\left(x^2-6\right)=\log_3\left(x-2\right)+\log_33\)
\(\log_3\left(x^2-6\right)=\log_3\left[3\left(x-2\right)\right]\)
\(x^2-6=3x-6\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\x=0\end{matrix}\right.\)