Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt[3]{yz}\le\frac{y+z+1}{3}\Rightarrow\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}=\frac{3x}{y+z+1}\)
Tương tự rồi cộng lại ta có:
\(VT\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{x+z+1}+\frac{z}{x+y+1}\right)\)
\(=3\left(\frac{x^2}{xy+yz+x}+\frac{y^2}{xy+yz+y}+\frac{z^2}{yz+xz+z}\right)\)
\(\ge\frac{3\left(x^4+y^4+z^4\right)}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\sqrt[3]{yz}\le\frac{y+z+1}{3}\Rightarrow\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}=\frac{3x}{y+z+1}3yz≤3y+z+1⇒3yzx≥3y+z+1x=y+z+13x
Tương tự rồi cộng lại ta có:
VT\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{x+z+1}+\frac{z}{x+y+1}\right)VT≥3(y+z+1x+x+z+1y+x+y+1z)
=3\left(\frac{x^2}{xy+yz+x}+\frac{y^2}{xy+yz+y}+\frac{z^2}{yz+xz+z}\right)=3(xy+yz+xx2+xy+yz+yy2+yz+xz+zz2)
\ge\frac{3\left(x^4+y^4+z^4\right)}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}≥2(xy+yz+xz)+x+y+z3(x4+y4+z4)≥x2+y2+z2(x2+y2+z2)2
=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=VP=x2+y2+z2≥xy+yz+xz=VP
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1x=y=z=1
Áp dụng BĐT AM-GM, Ta có
\(\sqrt{x-1}\le\dfrac{1+x-1}{2}=\dfrac{x}{2}\Rightarrow yz\sqrt{x-1}\le\dfrac{xyz}{2}\)
Mà \(xz\sqrt{y-2}\le\dfrac{xz\sqrt{2\left(y-2\right)}}{\sqrt{2}}\le\dfrac{xyz}{2\sqrt{2}}\)
\(yx\sqrt{z-3}\le yx.\dfrac{3+z-3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{xyz}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{xy\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+yz\sqrt{z-3}}{xyz}\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)
Ta có : Áp dụng BĐT Cauchy ba số ở mẫu ta được
\(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\dfrac{x}{\dfrac{y+z+1}{3}}+\dfrac{y}{\dfrac{x+z+1}{3}}+\dfrac{z}{\dfrac{x+y+1}{3}}=\dfrac{3x}{y+z+1}+\dfrac{3y}{x+z+1}+\dfrac{3z}{x+y+1}\)Thấy: \(xy+yz+xz\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\left(?!\right)\)
Ta phải chứng minh:
\(\dfrac{3x}{y+z+1}+\dfrac{3y}{x+z+1}+\dfrac{3z}{x+y+1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\dfrac{x}{y+z+1}+\dfrac{y}{x+z+1}+\dfrac{z}{x+y+1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{9}\)
Mà \(\dfrac{x}{y+z+1}+\dfrac{y}{x+z+1}+\dfrac{z}{x+y+1}=\dfrac{x^2}{xy+xz+x}+\dfrac{y^2}{xy+yz+y}+\dfrac{z^2}{xz+yz+z}\)
Theo C.B.S
\(\dfrac{x^2}{xy+xz+x}+\dfrac{y^2}{xy+yz+y}+\dfrac{z^2}{xz+yz+z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\)
Phải chứng minh
\(\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{9}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\dfrac{1}{9}\)
Ta có : \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2=3\)
Theo C.B.S : \(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=3\)
\(\Rightarrow2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z\le9\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\dfrac{1}{9}\)
=> ĐPCM
Đề bài sai
Phản ví dụ: với \(x=y=z=2\Rightarrow x^2+y^2+z^2=12>9\) (thỏa mãn điều kiện)
Nhưng \(\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}=\frac{3}{2}< \sqrt{3}\)
hehe bài này mk đã làm rồi nhé đây Câu hỏi của Vũ Quỳnh Trang - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath,chúc bạn học tốt :D
à dấu => ở dòng thứ 2 cho mk sửa
\(\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^3x^3}}{xz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xz}}\)
Dùng phương pháp biến đổi tương đương, ta dễ dàng chứng minh được:
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\) với mọi số thực \(x,y,z\)
Ta có:
\(xy+yz+xz\ge\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
nên suy ra được \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\) \(\left(i\right)\)
Giả sử tồn tại số thực \(t\) nào đó sao cho thỏa mãn \(t^2=x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow\) \(t=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
Khi đó, bđt \(\left(i\right)\) được biểu diễn lại dưới dạng ẩn số \(t\) như sau:
\(\left(i\right)\) \(\Rightarrow\) \(t\ge\frac{1}{\sqrt{t}}\) \(\Leftrightarrow\) \(t\sqrt{t}\ge1\) \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{t^3}\ge1\) \(\Leftrightarrow\) \(t^3\ge1\) \(\Leftrightarrow\) \(t\ge1\) \(\left(ii\right)\)
\(------------\)
Bên cạnh đó, ta lại có:
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\ge x^2+y^2+z^2+\frac{2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
nên \(\left(x+y+z\right)^2\ge t^2+\frac{2}{t}\)
Giả sử tồn tại một số \(y\)nào đó thỏa mãn \(t^2+\frac{2}{t}\ge y\) (với \(y\in R\) )
\(\Rightarrow\) \(\left(x+y+z\right)^2\ge y\)
Mặt khác, từ \(\left(ii\right)\) ta suy ra được \(\hept{\begin{cases}t^2\ge1\\t-1\ge0\end{cases}\Leftrightarrow}\) \(\hept{\begin{cases}t^2\ge1\\2t-2\ge0\end{cases}}\)
Lúc đó, ta thiết lập được một bđt mới sau:
\(t^2+2t+\frac{2}{t}-2\ge y\)
Mà \(t^2\ge1\) và \(2t+\frac{2}{t}\ge2\sqrt{2t.\frac{2}{t}}=4\) (bđt Cauchy loại hai cho bộ số gồm hai số không âm)
\(\Rightarrow\) \(t^2+2t+\frac{2}{t}-2\ge1+4-2=3\)
Ta dễ dàng suy ra được \(y=3\)
Do đó, \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\) hay nói cách khác, \(x+y+z\ge\sqrt{3}\) (đpcm)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\left(i\right)\Rightarrow\) \(t^2\ge\frac{1}{t}\) \(\Leftrightarrow\) \(t^3\ge1\) \(\Leftrightarrow\) \(t\ge1\) \(\left(ii\right)\)