Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại k
ta có: 2.AK.b=AK.b+AK.b
=AK.(AK+CK)+(b-CK).b
=AK^2+AK.CK+b^2-b.CK
=c^2-BK^2+b^2-CK.(b-AK)
=c^2-(a^2-CK^2)+b^2-CK.CK
=c^2-a^2+CK^2+b^2-CK^2
=b^2+c^2-a^2
mà: cosA=AK/c=2.AK.b/2bc
=(b^2+c^2-a^2)/2bc
=>b^2+c^2-a^2=2bc.cosA (đpcm)
Hiện tại lm đc câu a, câu b tí nx làm
Mk sẽ ko tính theo a,b,c mà tính theo AB,AC,BC
Kẻ đg cao CH\(\Rightarrow\cos A=\frac{AH}{AC}\)
Xét \(VP=AH^2+HC^2+\left(AH+HB\right)^2-2AB.AC.\frac{AH}{AC}\)
\(=AH^2+HC^2+AH^2+HB^2+2AH.HB-2AB.AH\)
\(=2AH^2+BC^2-2AH\left(AB-HB\right)=2AH^2+BC^2-2AH.AH=2AH^2+BC^2-2AH^2=BC^2=VT\)
Cái kia phải là \(\tan\frac{\widehat{ABC}}{2}\) ms đúng
Kẻ phân giác BM
Có \(\tan\widehat{\frac{ABC}{2}}=\tan\widehat{ABM}=\frac{AM}{AB}\)
Có BD là p/g\(\Rightarrow\frac{AM}{AB}=\frac{MC}{BC}\Leftrightarrow AB=\frac{AM.BC}{MC}\)
Xét \(VT=\frac{AC}{AB+BC}=\frac{AC}{\frac{AM.BC}{MC}+BC}=\frac{AC}{\frac{BC\left(AM+MC\right)}{MC}}=\frac{AC.MC}{BC.AC}=\frac{MC}{BC}\)
Mà \(\frac{MC}{BC}=\frac{AM}{AB}=\tan\widehat{ABM}\)
\(\Leftrightarrow\frac{AC}{AB+BC}=\tan\widehat{ABM}=\tan\frac{\widehat{ABC}}{2}\)
a) \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
(Luôn đúng)
Vậy ta có đpcm.
Đẳng thức khi \(a=b=c\)
b) \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2b+1+a^2-2a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)
(Luôn đúng)
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức khi \(a=b=1\)
Các bài tiếp theo tương tự :v
g) \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\ge6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}=6abc\)
i) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{bc}};\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ca}}\)
Cộng vế theo vế rồi rút gọn cho 2, ta được đpcm
j) Tương tự bài i), áp dụng Cauchy, cộng vế theo vế rồi rút gọn được đpcm
Vì a;b;c là 3 cạnh của tam giác nên mỗi nhân tử của VP đều dương,áp dụng bđt Cauchy:
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\le\frac{a+b-c+b+c-a}{2}=b\)
\(\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}\le\frac{b+c-a+a+c-b}{2}=c\)
\(\sqrt{\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}\le\frac{a+c-b+a+b-c}{2}=a\)
Nhân theo vế => ddpcm "=" khi a=b=c