Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) +) ta có : \(C-\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3\sqrt{x}-x+\sqrt{x}-1}{3\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\dfrac{-\left(x-4\sqrt{x}+4\right)+3}{3\left(x+\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{-\left(\sqrt{x}-2\right)^2+3}{3\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)
không thể cm được đâu bn --> xem lại đề
2) +) ta có : \(D=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}=1-\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}\)
--> để \(D\in Z\Leftrightarrow\sqrt{x}+2\) là ước của 3 \(\Leftrightarrow\sqrt{x}+2\in\left\{\pm1;\pm3\right\}\)
\(\Leftrightarrow x=1\) vậy \(x=1\)
3) +) tương tự 2)
4) a) +) điều kiện xác định : \(x>0;x\ne4\)
ta có : \(A=\left(\dfrac{2}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right):\dfrac{\sqrt{x}-2}{x+3\sqrt{x}}\)
\(\Leftrightarrow A=\left(\dfrac{2\sqrt{x}-\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}\right):\dfrac{x+3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}\)
b) ta có : \(A=3\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}=3\Leftrightarrow\sqrt{x}-3=3\sqrt{x}-6\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}=3\Leftrightarrow\sqrt{x}=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{9}{4}\) vậy \(x=\dfrac{9}{4}\)
c) ta có : \(B=A.\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}.\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{x-9}{x-4}=1-\dfrac{5}{x-4}\)
tương tự 2 )
\(\)
1) \(1019x^2+18y^4+1007z^2\)
\(=\left(15x^2+15y^4\right)+\left(3y^4+3z^2\right)+\left(1004x^2+1004z^2\right)\)
\(\ge2\sqrt{15x^2.15y^4}+2\sqrt{3y^4.3z^2}+2\sqrt{1004x^2.1004z^2}=30xy^2+6y^2z+2008xz\left(đpcm\right)\)
\(\text{Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn }x+y+z=3\)
\(\text{Chứng minh rằng }T=\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)
➤➤➤Chứng minh:
➢ Áp dụng bất đẳng thức AM - GM
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}\left(\text{vì }x+y+z=3\right)=\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
➢ Tương tự:
\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
\(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
➢ Công vế theo vế 3 bất đẳng thức cùng chiều
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)
➢ \(\text{Đẳng thức xảy ra khi }x=y=z=1\)
➤ \(Max_T=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
\(1.\) Gỉa sử : \(\sqrt{25-16}< \sqrt{25}-\sqrt{16}\)
\(\Leftrightarrow3< 1\) ( Vô lý )
\(\Rightarrow\sqrt{25-16}>\sqrt{25}-\sqrt{16}\)
\(2.\sqrt{a}-\sqrt{b}< \sqrt{a-b}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2< a-b\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b< a-b\)
\(\Leftrightarrow2b-2\sqrt{ab}< 0\)
\(\Leftrightarrow2\left(b-\sqrt{ab}\right)< 0\)
Ta có :\(a>b\Leftrightarrow ab>b^2\Leftrightarrow\sqrt{ab}>b\)
\(\RightarrowĐpcm.\)
\(2a.\) Áp dụng BĐT Cauchy , ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\left(a;b\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(b.\) Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\left(x,y>0\right)\left(1\right)\)
\(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{2}{\sqrt{yz}}\left(y,z>0\right)\left(2\right)\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xz}}\left(x,z>0\right)\left(3\right)\)
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3 ) , ta được :
\(2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\)
\(3a.\sqrt{x-4}=a\left(a\in R\right)\left(x\ge4;a\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow x-4=a^2\)
\(\Leftrightarrow x=a^2+4\left(TM\right)\)
\(3b.\sqrt{x+4}=x+2\left(x\ge-2\right)\)
\(\Leftrightarrow x+4=x^2+4x+4\)
\(\Leftrightarrow x^2+3x=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(TM\right)\\x=-3\left(KTM\right)\end{matrix}\right.\)
KL....
Bài 4:
a)
Gọi Q là giao điểm của MC và ON, H là giao điểm của OP và MC.
M là t.đ. của AB và O là t.đ. của BC
\(\Rightarrow OM\) là đ.t.b. của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow OM\) // AC mà AC \(\perp\) AB
\(\Rightarrow OM\perp AB\)
Chứng minh tương tự, ta có: \(ON\perp AC\)
\(\Rightarrow ABCD\) là h.c.n. có AM = AN (vì \(\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC\))
=> ABCD là h.v.
\(\Rightarrow\widehat{MON}=90^0\)
\(\Rightarrow\Delta HOM\) ~ \(\Delta OQM\) (g - g)
\(\Rightarrow\widehat{HOM}=\widehat{OQM}\)
mà \(\widehat{HOM}=\widehat{NPO}\) (OM // AC, 2 góc s.l.tr.)
và \(\widehat{OQM}=\widehat{AMC}\) (ON // AB, 2 góc s.l.tr.)
\(\Rightarrow\widehat{NPO}=\widehat{AMC}\)
\(\Rightarrow\Delta NPO\) ~ \(\Delta AMC\) (g - g)
b)
OM // AC và ON // AB
=> OMNC là h.b.h
=> P là t.đ. của ON và MC
\(\widehat{OMQ}=\widehat{ACM}\) (OM // AC, 2 góc s.l.tr.)
\(\widehat{NOP}=\widehat{ACM}\) (\(\Delta NPO\) ~ \(\Delta AMC\))
\(\Rightarrow\widehat{OMQ}=\widehat{NOP}\)
\(\Rightarrow\Delta OMQ=\Delta NOP\left(g-c-g\right)\)
\(\Rightarrow NP=OQ=\dfrac{1}{2}ON=\dfrac{1}{2}AN\) (Q là t.đ. của ON)
=> P là t.đ. của AN
=> OP là đ.t.tn. của \(\Delta AON\)
mà MN là đ.t.tn. của \(\Delta AON\)
=> G là trọng tâm của \(\Delta AON\)
mà AQ là đ.t.tn của \(\Delta AON\) (P là t.đ. của ON)
=> A, G, Q thẳng hàng
mà MN là đ.t.tn. của \(\Delta MAC\) (N là t.đ. của AC)
và AQ là đ.t.tn của \(\Delta MAC\) (Q là t.đ. của MC)
=> G là trọng tâm của \(\Delta MAC\)
Sana
đường trung tuyến (^^) viết tắt để phân biệt vs đ.t.tc. (đường trung trực) =))