K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 7 2020
Chọn \(f\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c\)
\(2f\left(x^2\right)+f'\left(x\right)=2x^6+7x^2+2\)
\(\Leftrightarrow2x^6+2ax^4+2bx^2+c+3x^2+2ax+b=2x^6+7x^2+2\)
\(\Leftrightarrow2ax^4+\left(2b+3\right)x^2+2ax+b+c=7x^2+2\)
Đồng nhất 2 vế ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}a=0\\2b+3=7\\b+c=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=c=0\\b=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^3+2x\Rightarrow f\left(1\right)=3\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 11 2019
Không phải tất cả các câu đều dùng nguyên hàm từng phần được đâu nhé, 1 số câu phải dùng đổi biến, đặc biệt những câu liên quan đến căn thức thì đừng dại mà nguyên hàm từng phần (vì càng nguyên hàm từng phần biểu thức nó càng phình to ra chứ không thu gọn lại, vĩnh viễn không ra kết quả đâu)
a/ \(I=\int\frac{9x^2}{\sqrt{1-x^3}}dx\)
Đặt \(u=\sqrt{1-x^3}\Rightarrow u^2=1-x^3\Rightarrow2u.du=-3x^2dx\)
\(\Rightarrow9x^2dx=-6udu\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{-6u.du}{u}=-6\int du=-6u+C=-6\sqrt{1-x^3}+C\)
b/ Đặt \(u=1+\sqrt{x}\Rightarrow du=\frac{dx}{2\sqrt{x}}\Rightarrow2du=\frac{dx}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{2du}{u^3}=2\int u^{-3}du=-u^{-2}+C=-\frac{1}{u^2}+C=-\frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}+C\)
c/ Đặt \(u=\sqrt{2x+3}\Rightarrow u^2=2x\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{u^2}{2}\\dx=u.du\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{u^2.u.du}{2u}=\frac{1}{2}\int u^2du=\frac{1}{6}u^3+C=\frac{1}{6}\sqrt{\left(2x+3\right)^3}+C\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 11 2019
d/ Đặt \(u=\sqrt{1+e^x}\Rightarrow u^2-1=e^x\Rightarrow2u.du=e^xdx\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{\left(u^2-1\right).2u.du}{u}=2\int\left(u^2-1\right)du=\frac{2}{3}u^3-2u+C\)
\(=\frac{2}{3}\sqrt{\left(1+e^x\right)^2}-2\sqrt{1+e^x}+C\)
e/ Đặt \(u=\sqrt[3]{1+lnx}\Rightarrow u^3=1+lnx\Rightarrow3u^2du=\frac{dx}{x}\)
\(\Rightarrow I=\int u.3u^2du=3\int u^3du=\frac{3}{4}u^4+C=\frac{3}{4}\sqrt[3]{\left(1+lnx\right)^4}+C\)
f/ \(I=\int cosx.sin^3xdx\)
Đặt \(u=sinx\Rightarrow du=cosxdx\)
\(\Rightarrow I=\int u^3du=\frac{1}{4}u^4+C=\frac{1}{4}sin^4x+C\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 5 2019
\(y'=3\left(m-1\right)x^2+6mx+4m+4\)
Để hàm số đã cho đồng biến trên R \(\Leftrightarrow y'\ge0\) \(\forall x\in R\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(m-1\right)>0\\\Delta'=\left(3m\right)^2-3\left(m-1\right)\left(4m+4\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\-3m^2+12\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\\left[{}\begin{matrix}m\ge2\\m\le-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge2\)
\(\Rightarrow m=\left\{2;3;4...2019\right\}\Rightarrow\) có \(2019-2+1=2018\) giá trị nguyên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 10 2017
Lời giải:
Câu 1:
\(5^{2x}=3^{2x}+2.5^x+2.3^x\)
\(\Leftrightarrow 5^{2x}-2.5^x+1=3^{2x}+2.3^x+1\)
\(\Leftrightarrow (5^x-1)^2=(3^x+1)^2\)
\(\Leftrightarrow (5^x-1-3^x-1)(5^x-1+3^x+1)=0\)
\(\Leftrightarrow (5^x-3^x-2)(5^x+3^x)=0\)
Vì \(3^x,5^x>0\Rightarrow 3^x+5^x>0\), do đó từ pt trên ta có \(5^x-3^x=2\)
\(\Leftrightarrow 5^x=3^x+2\)
TH1: \(x>1\)
\(\Rightarrow 5^x=3^x+2< 3^x+2^x\)
\(\Leftrightarrow 1< \left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{2}{5}\right)^x\)
Vì bản thân \(\frac{2}{5},\frac{3}{5}<1\), và \(x>1\Rightarrow \left(\frac{2}{5}\right)^x< \frac{2}{5};\left(\frac{3}{5}\right)^x<\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \left(\frac{2}{5}\right)^x+\left(\frac{3}{5}\right)^x< 1\) (vô lý)
TH2: \(x<1 \Rightarrow 5^x=3^x+2> 3^x+2^x\)
\(\Leftrightarrow 1>\left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{2}{5}\right)^x\)
Vì \(\frac{2}{5};\frac{3}{5}<1; x<1\Rightarrow \left(\frac{3}{5}\right)^x> \frac{3}{5}; \left(\frac{2}{5}\right)^x>\frac{2}{5}\Rightarrow \left(\frac{2}{5}\right)^x+\left(\frac{3}{5}\right)^x>1\)
(vô lý)
Vậy \(x=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 10 2017
Câu 2:
Ta có \(1+6.2^x+3.5^x=10^x\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{10^x}+6.\frac{1}{5^x}+3.\frac{1}{2^x}=1\)
\(\Leftrightarrow 10^{-x}+6.5^{-x}+3.2^{-x}=1\)
Ta thấy, đạo hàm vế trái là một giá trị âm, vế phải là hàm hằng có đạo hàm bằng 0, do đó pt có nghiệm duy nhất.
Thấy \(x=2\) thỏa mãn nên nghiệm duy nhất của pt là x=2
Câu 3:
\(6(\sqrt{5}+1)^x-2(\sqrt{5}-1)^x=2^{x+2}\)
Đặt \(\sqrt{5}+1=a\), khi đó sử dụng định lý Viete đảo ta duy ra a là nghiệm của phương trình \(a^2-2a-4=0\)
Mặt khác, từ pt ban đầu suy ra \(6.a^x-2\left(\frac{4}{a}\right)^x=2^{x+2}\)
\(\Leftrightarrow 6.a^{2x}-2^{x+2}a^x-2^{2x+1}=0\)
\(\Leftrightarrow 2(a^x-2^x)^2+4(a^{2x}-2^{2x})=0\)
\(\Leftrightarrow 2(a^x-2^x)^2+4(a^x-2^x)(a^x+2^x)=0\)
\(\Leftrightarrow (a^x-2^x)(6a^x+2^{x+1})=0\)
Dễ thấy \(6a^x+2^{x+1}>0\forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow a^x-2^x=0\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{5}+1)^x=2^x\Leftrightarrow x=0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 10 2020
1.
Tiếp tuyến vuông góc với \(y=-x+2017\) nên có hệ số góc \(k=\frac{-1}{-1}=1\)
\(y'=3x^2-4x+2=1\)
\(\Rightarrow3x^2-4x+1=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_1+x_2=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\)
2.
Tiếp tuyến song song Ox nên có hệ số góc \(k=0\)
\(y'=3x^2-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)
3.
\(y'=x^2+6x=-9\Rightarrow\left(x+3\right)^2=0\Rightarrow x=-3\Rightarrow y=16\)
Pt tiếp tuyến: \(y=-9\left(x+3\right)+16=-9x-11\)
4.
Tiếp tuyến vuông góc \(y=\frac{1}{9}x+2017\) có hệ số góc \(k=\frac{-1}{\frac{1}{9}}=-9\)
\(y'=-3x^2+6x=-9\Leftrightarrow3x^2-6x-9=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=3\end{matrix}\right.\)
Có 2 tiếp điểm nên có 2 tiếp tuyến thỏa mãn
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 5 2019
a/ \(y'=18x-42x^5+7x^4=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(42x^4-7x^3-18\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\42x^4-7x^3-18=0\end{matrix}\right.\)
Nói chung là ko giải được pt dưới nên nhường thầy giáo ra đề tự xử
b/ \(y'=\frac{4}{\left(x+2\right)^2}>0\) \(\forall x\ne-2\)
\(\Rightarrow\) Hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(-2;+\infty\right)\)
c/ \(y'=\frac{\left(4x+3\right)\left(2x+1\right)-2\left(2x^2+3x\right)}{\left(2x+1\right)^2}=\frac{4x^2+4x+3}{\left(2x+1\right)^2}=\frac{\left(2x+1\right)^2+2}{\left(2x+1\right)^2}>0\) \(\forall x\ne-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\) Hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty;-\frac{1}{2}\right)\) và \(\left(-\frac{1}{2};+\infty\right)\)
d/ \(y'=\frac{x^2-2x-\left(2x-2\right)\left(x-1\right)}{\left(x^2-2x\right)^2}=\frac{-x^2+2x-2}{\left(x^2-2x\right)^2}=\frac{-\left(x-1\right)^2-1}{\left(x^2-2x\right)^2}< 0\) \(\forall x\ne\left\{0;2\right\}\)
\(\Rightarrow\) Hàm số nghịch biến trên \(\left(-\infty;0\right)\) và \(\left(0;2\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\)
e/ \(y'=\frac{\left(2x-x^2\right)'}{2\sqrt{2x-x^2}}=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}=0\Rightarrow x=1\)
\(y'>0\) khi \(0< x< 1\); \(y'< 0\) khi \(1< x< 2\)
\(\Rightarrow\) Hàm số đồng biến trên \(\left(0;1\right)\) và nghịch biến trên \(\left(1;2\right)\)
Đặt x=log9t (t>0), phương trình đã cho trở thành:
\(2^{3log_9t}+3^{2log_9t}=17\Leftrightarrow8^{log_9t}+t=17\)
Đặt \(f\left(t\right)=8^{log_9t}+t-17\)
ta thấy f(t) là hàm đồng biến trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\) mà f(9)=0
do đó t=9 là nghiệm duy nhất của phương trình f(t)=0
t=9 nên x=1