Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Phương trình hoành độ giao điểm : \(-x^4+2\left(2+m\right)x^2-3-2m=0\left(1\right)\)
Đặt \(t=x^2,\left(t\ge0\right)\), phương trình (1) trở thành : \(t^2-1\left(m+2\right)t+3+2m=0\left(2\right)\)
(1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
Điều kiện là : \(\begin{cases}\Delta'>0\\S>0\\P>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2+2m+1>0\\m+2>0\\3+2>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne-1\\m>-\frac{3}{2}\end{cases}\) (*)
Với điều kiện (*), giả sử \(t_1;t_2\) (\(0 < t 1 < t2 \) là 2 nghiệm phân biệt của (2), khi đó (1) có 4 nghiệm phân biệt là \(x_1=-\sqrt{t_2};x_2=-\sqrt{t_1};x_3=\sqrt{t_1};x_4=\sqrt{t_2};\)
\(x_1;x_2;x_3;x_4\) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi :
\(x_2-x_1=x_3-x_2=x_4-x_3\)
\(\Leftrightarrow t_2=9t_1\left(a\right)\)
Áp dụng định lí Viet ta có : \(t_1+t_2=2\left(m+2\right);t_1.t_2=3+2m\left(b\right)\)
Từ (a) và (b) ta có : \(9m^2-14m-39=0\)
Đối chiếu điều kiện (*) ta có \(m=3\) hoặc \(m=-\frac{13}{9}\)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là :
\(x^3-2x^2+\left(1-m\right)x+m=0\left(1\right)\)
Biến đổi tương đương phương trình này :
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^3-2x^2+x-mx+m=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x^2-2x+1\right)-m\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-x-m\right)=0\Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x^2-x-m=0\left(2\right)\)
Gọi \(x_1,x_2\) là nghiệm của phương trình (2) thì :
\(t^2+x_1^2+x_2^2< 4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2< 3\Leftrightarrow m< 1\) (*)
Yêu cầu bài toán tương đương với (2) có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\ne1\) thỏa mãn điều kiện (*)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta=1+4m>0\\1^2-1-m\ne0\\m< 1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}-\frac{1}{4}< m< 1\\m\ne0\end{cases}\)
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(C_m\right)\) và đường thẳng y = -1 là :
\(x^4-\left(3m+2\right)x^2+3m=-1\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2-3m-1\right)=0\)
Đường thẳng y = -1 cắt \(\left(C_m\right)\) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi :
\(0 < 3m+1 < 4\) và \(3m+1\ne1\)
\(\Leftrightarrow\)\(-\frac{1}{3}< m\)< 1 và \(m\ne0\)
\(\left(C_m\right)\) giao d: \(\frac{2x-m^2}{x+1}=m-x\Leftrightarrow x^2-\left(m-3\right)x-m^2-m=0\)
\(\Delta=5m^2-2m+9\Rightarrow x_A=\frac{m-3-\sqrt{5m^2-2m+9}}{2}\)
\(\left(C_m\right)\) giao d': \(\frac{2x-m^2}{x+1}=2-m-x\)
\(\Leftrightarrow2x-m^2=\left(2-m\right)x-x^2+2-m-x\)
\(\Leftrightarrow x^2+\left(m+1\right)x-m^2+m-2=0\)
\(\Delta=5m^2-2m+9\Rightarrow x_D=\frac{-m-1+\sqrt{5m^2-2m+9}}{2}\)
\(x_Ax_D=-3\Leftrightarrow\left(m-3-\sqrt{5m^2-2m+9}\right)\left(-m-1+\sqrt{5m^2-2m+9}\right)=-12\)
\(\Leftrightarrow-6m^2+4m+6+\left(2m-2\right)\sqrt{5m^2-2m+9}=0\)
\(\Leftrightarrow-\left(5m^2-2m+9\right)+2\left(m-1\right)\sqrt{5m^2-2m+9}-m^2+2m+15=0\)
Đặt \(\sqrt{5m^2-2m+9}=t\)
\(\Rightarrow-t^2+2\left(m-1\right)t-m^2+2m+15=0\)
\(\Delta'=m^2-2m+1-\left(m^2-2m-15\right)=16\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=m-5\\t=m+3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{5m^2-2m+9}=m-5\left(m\ge5\right)\\\sqrt{5m^2-2m+9}=m+3\left(m\ge-3\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4m^2+8m-16=0\left(vn\right)\\4m^2-8m=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=2\end{matrix}\right.\)
Có 2 phần tử
\(\frac{2x-1}{-x-1}=-2x+m\Leftrightarrow\begin{cases}2x^2-\left(m+4\right)x+1=0\left(1\right)\\x\ne1\end{cases}\)
Đường thẳng y=-2x+m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt \(\Leftrightarrow\) phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(m+4\right)^2-8\left(m+1\right)>0\\-1\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m^2+8>0\) với mọi m
Vậy với mọi m, đường thẳng y=x+m luôn cắt đồ thị C tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \(x_1,x_2\) và \(x_1\ne x_2\)
Theo Viet : \(x_1+x_2=\frac{4+m}{2},x_1.x_2=\frac{m+1}{2}\)
\(x_1x_2-4\left(x_1+x_2\right)=\frac{7}{2}\Leftrightarrow\frac{m+1}{2}-4\left(\frac{m+4}{2}\right)=\frac{7}{2}\Leftrightarrow m=-\frac{22}{3}\)
Vậy \(m=-\frac{22}{3}\) thì đường thẳng \(y=-2x+m\) cắt đồ thì (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \(x_1,x_2\) và \(x_1x_2-4\left(x_1+x_2\right)=\frac{7}{2}\)
Ta có \(\overrightarrow{n}=\left(2;1\right)\) là vecto pháp tuyến của đường thẳng d
\(y'=3x^2-2\left(m+2\right)x+m-1\Rightarrow y'\left(1\right)=3-2m-4+m-1=-m-2\)
Gọi \(\Delta\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ bằng 1. Suy ra phương trình của \(\Delta\) có dạng \(y=y'\left(1\right)\left(x-1\right)+y\left(1\right)\)
Do đó \(\overrightarrow{n}=\left(m+2;1\right)\) là vecto pháp tuyến của \(\Delta\)
Theo đề bài ta có : \(\left|\cos\left(\overrightarrow{n_1.}\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\cos30^0\Rightarrow\frac{\left|\overrightarrow{n_1.}\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|2\left(m+2\right)+1\right|}{\sqrt{5}\sqrt{\left(m+2\right)^2+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow m^2+20m+25=0\)
\(\Leftrightarrow m=-10\pm5\sqrt{3}\)
a. Tiếp tuyến của \(\left(C_m\right)\) tại điểm có hoành độ x = 1 có phương trình :
\(y=\left(m-2\right)\left(x-1\right)+3m-2=\left(m-2\right)x+3m\)
Yêu cầu của bài toán khi và chỉ khi \(\begin{cases}m-2=3\\2m\ne10\end{cases}\) vô nghiệm
Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán
b. Ta có \(y'=3\left(x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}\right)+m-\frac{7}{3}=3\left(x-\frac{2}{3}\right)^2+m-\frac{7}{3}\)
Suy ra \(y'\ge m-\frac{7}{3}\)
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x=\frac{2}{3}\) có hệ số góc nhỏ nhất và hệ số góc có giá trị \(k=m-\frac{7}{3}\)
Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow k.2=-1\Leftrightarrow\left(m-\frac{7}{3}\right).2=-1\Leftrightarrow m=\frac{11}{6}\)
Ta có : \(y'=3x^2-2\left(m-1\right)x+3m+1\)
Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là tiếp điểm, ta có : \(x_0=1\Rightarrow y_0=3m+1,y'\left(1\right)=m+6\)
Phương trình tiếp tuyến tại M : \(y=\left(m+6\right)\left(x-1\right)+3m+1\)
Tiếp tuyến đi qua A \(\Leftrightarrow-1=m+6+3m+1\Leftrightarrow m=-2\)
Vậy m = -2 là giá trị cần tìm
Lời giải:
Ta có: \(y=x^4-2(m+1)x^2+2m+1\)
\(\Leftrightarrow y=(x^4-1)-2(m+1)x^2+2(m+1)\)
\(y=(x^2-1)(x^2-2m-1)\)
Xét PT \(y=0\) ta thấy pt đã có nghiệm \(x=\pm 1\). Do đó để đths cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì pt \(x^2-2m-1=0\) phải có thêm 2 nghiệm khác $\pm 1$ nữa
Do đó: \(\left\{\begin{matrix} 2m+1>0\\ (\pm 1)^2-2m-1\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>\frac{-1}{2}\\ m\neq 0\end{matrix}\right.\)
Ta xét 2 TH sau:
TH1: \(2m+1>1\Rightarrow \sqrt{2m+1}>1;-\sqrt{2m+1}< -1\)
Hoành độ 4 điểm A,B,C,D theo thứ tự lần lượt là:
\(-\sqrt{2m+1};-1;1;\sqrt{2m+1}\)
Ta có: \(AB=BC\Leftrightarrow |-\sqrt{2m+1}+1|=|-1-1|=2\)
Từ đây dễ dàng tìm được \(m=4\) (thỏa mãn)
TH2: \(0\leq 2m+1< 1\Rightarrow \sqrt{2m+1}< 1;-\sqrt{2m+1}> -1\)
Hoành độ 4 điểm A,B,C,D theo thứ tự lần lượt là:
\(-1;-\sqrt{2m+1};\sqrt{2m+1};1\)
Ta có \(AB=BC\Leftrightarrow |-1+\sqrt{2m+1}=|-\sqrt{2m+1}-\sqrt{2m+1}|=2\sqrt{2m+1}\)
Từ đây ta dễ dàng tìm được \(m=\frac{-4}{9}\) (thỏa mãn)
thank you