Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Kiến thức áp dụng
+ Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn
+ Số đo của góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn
M 1 là điểm bất kì nằm trong cung chưa góc 55 o
Gọi A' và B' lần lượt là giao điểm của M 1 A , M 1 B với đường tròn. Vì góc A M 1 B ^ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn nên:
A M 1 B ^ = 1 2 . s đ A B ⏜ + s đ A ' B ' ⏜ = 1 2 s đ A B ⏜ + 1 2 s đ A ' B ' ⏜ = 1 2 . 110 o + m ộ t s ố d ư ơ n g = 55 o + m ộ t s ố d ư ơ n g > 55 o
(Điều phải chứng minh)
Điểm M 2 là điểm nằm ngòi đường tròn
Gọi M 2 A v à M 2 B là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn nên:
O O E B A 1 2 M J C F I x K N
a) Gọi AM cắt (O2) tại N khác M. Khi đó: Dễ thấy: ^MFE=^MNE = ^MO2E/2 = ^MO1J/2 = ^MAJ
=> ^MFI = ^MCI (Do ^MAJ = ^MCI) => Tứ giác MCFI nội tiếp => ^JAM = ^MCI = ^MFI = ^MEB hay ^JAM = ^JEA
Từ đó: \(\Delta\)JAM ~ \(\Delta\)JEA (g.g) => JA2 = JM.JE (1)
Ta có: ^JIM = ^CIM = ^CFM = ^FEM => \(\Delta\)JIM ~ \(\Delta\)JEI (g.g) => IJ2 = JM.JE (2)
Từ (1);(2) suy ra: JA2 = IJ2 = JM.JE => \(JA=IJ=\sqrt{JM.JE}\) (đpcm).
b) Gọi Cx là tia đối tia CA. Ta có đẳng thức về góc: ^ICx = ^JCA = ^JMA = ^JAB (Vì \(\Delta\)JAM ~ \(\Delta\)JEA)
=> ^ICx = ^JAB = ^ICB => CI là tia phân giác ^BCx hay CI là tia phân giác ngoài tại C của \(\Delta\)ABC (đpcm).
c) Ta thấy: \(\Delta\)IKC ~ \(\Delta\)IJA, JA = JI (cmt) => KI = KC (3)
Theo câu b thì ^JAB = ^JCA = ^JBA => \(\Delta\)ABJ cân tại J => JA = JB = JI => \(\Delta\)IJB cân tại J
=> ^CBI = ^JBI - ^JBC = (1800 - ^IJB)/2 - ^JBC = (1800 - ^IJB - 2.^JBC)/2 = (1800 - ^BAJ - ^JBC)/2
= (^ACB + ^JBA - ^JAC)/2 = (^ACB + ^BAC)/2 => BI là phân giác ^CBE.
Từ đó I là tâm bàng tiếp ứng đỉnh A của \(\Delta\)ABC => AI là phân giác ^BAC
Do vậy, K là điểm chính giữa cung BC không chứa A của (O1) => KC = KB (4)
Từ (3);(4) suy ra: KB = KC = KI => K là tâm ngoại tiếp \(\Delta\)BCI (đpcm).
A B M C O O 1 2 O I E D N
a) Có ^AO1O2 = ^AO1M/2 = 1/2.Sđ(AM của (O1) = ^ABM = ^ABC. Tương tự ^AO2O1 = ^ACB
Suy ra \(\Delta\)AO1O2 ~ \(\Delta\)ABC (g.g) (đpcm).
b) Từ câu a ta có \(\Delta\)AO1O2 ~ \(\Delta\)ABC. Hai tam giác này có đường trung tuyến tương ứng AO,AI
Khi đó \(\Delta\)AOO1 ~ \(\Delta\)AIB (c.g.c) => \(\frac{AO}{AO_1}=\frac{AI}{AB}\). Đồng thời ^OAI = ^O1AB
=> \(\Delta\)AOI ~ \(\Delta\)AO1B (c.g.c). Mà \(\Delta\)AO1B cân tại O1 nên \(\Delta\)AOI cân tại O (đpcm).
c) Xét đường tròn (O1): ^DAM nội tiếp, ^DAM = 900 => DM là đường kính của (O1)
=> ^DBM = 900 => DB vuông góc với BC. Tương tự EC vuông góc với BC
Do vậy BD // MN // CE. Bằng hệ quả ĐL Thales, dễ suy ra \(\frac{ND}{NE}=\frac{MB}{MC}\)(1)
Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác ta có \(\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AC}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{ND}{NE}=\frac{AB}{AC}\)=> ND.AC = NE.AB (đpcm).
M1 là điểm bất kì nằm trong cung chứa góc 550 (hình a).
Gọi B’, A’ theo thứ tự là giao điểm của M1A, M1B với cung tròn. Vì góc AM1B là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên: góc AM1B = sđ cung(AB +A’B’)/2 = sđcung AB/2 + sđcung A’B’/2 = 550+ (một số dương) Vậy góc AM1B > 550
b)
M2 là điểm bất kì nằm ngoài đường tròn (h.b), M2A, M2B lần lượt cắt đường tròn tại A’, B’. Vì góc AM2B là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn nên: góc AM2B= sđcung(AB – A’B’)/2= sđAB/2 – sđA’B’/2 = 550 – (một số dương)
Vậy góc AM2B < 550
M1 là điểm bất kì nằm trong cung chứa góc 550 .
Gọi B’, A’ theo thứ tự là giao điểm của M1A, M1B với cung tròn. Vì góc AM1B là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên: góc AM1B = sđ cung(AB +A’B’)/2 = sđcung AB/2 + sđcung A’B’/2 = 550+ (một số dương)
Vậy góc AM1B > 550
b)
M2 là điểm bất kì nằm ngoài đường tròn , M2A, M2B lần lượt cắt đường tròn tại A’, B’. Vì góc AM2B là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn nên: góc AM2B= sđcung(AB – A’B’)/2= sđAB/2 – sđA’B’/2 = 550 – (một số dương)
Vậy góc AM2B < 550