Question

[Nguyễn Đức Huy]

giúp mk vs câu này khó quá !

cho 3 số nguyên a,b,c thỏa mãn a²+b²=c² CMR abc chia hết cho 60  

Answer 1

[Đinh Đức Hùng]

Đối với lớp 8 cái này khó; giải theo cách bình thường nha

+) Giả sử \(abc\) không chia hết cho 3 \(\Rightarrow a;b;c\) không chia hết cho 3

\(\Rightarrow a^2;b^2;c^2\)chia 3 dư 1 \(\Rightarrow a^2+b^2\)  chia 3 dư 2

Mà \(c^2\) chia 3 dư 1 nên \(a^2+b^2\ne c^2\) => Điều giả sử sai

Vậy \(abc⋮3\) (1)

+) Giả sử  \(abc\) không chia hết cho 4 \(\Rightarrow a;b;c\) không chia hết cho 4

\(\Rightarrow\)\(a^2;b^2;c^2\)chia 4 dư 1 \(\Rightarrow a^2+b^2\) chia 4 dư 2

Mà \(c^2\)chia 4 dư 1 nên \(a^2+b^2\ne c^2\)=> Điều giả sử sai

Vậy \(abc⋮4\)(2)

+) +) Giả sử  \(abc\) không chia hết cho 5 \(\Rightarrow a;b;c\) không chia hết cho 5

\(\Rightarrow a^2;b^2;c^2\) chia 5 dư 1;4 \(\Rightarrow a^2+b^2\) chia hết cho 5

Mà \(c^2\)chia 5 dư 1;4 nên \(a^2+b^2\ne c^2\) => Điều giả sử sai

Vậy \(abc⋮5\)(3)

Mà (3;4;5) = 1 nên từ (1);(2);(3) \(\Rightarrow abc⋮60\)(đpcm)

Answer 2

[Miyuki]

Ta có;  60 = 3.4.5

Đặt M = abc

Nếu a, b, c đều không chia hết cho 3 => a², b² và c² chia hết cho 3 đều dư 1=> a² khác  b² + c² .Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3. Vậy M  \(⋮\)3

Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5 =>  a², b² và c² chia 5 dư 1 hoặc 4

=>  b² + c² chia 5 thì dư 2; 0 hoặc 3.

=> a² khác  b² + c². Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 5. Vậy M \(⋮\) 5

Nếu a, b, c là các số lẻ =>  b² và c² chia hết cho 4 dư 1.

=>  b² + c² = 4 dư 1 =>  a² khác b² + c²

Do đó 1 trong 2 số a, b phải là số chẵn

Giả sử b là số chẵn

Nếu c là số chẵn =>  M  \(⋮\) 4

Nếu c là số lẻ mà a² = b² + c² =>  a là số lẻ

\(\Rightarrow b^2=\left(a-c\right)\left(a+b\right)\Rightarrow\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{a-c}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{b}{2}\)chẵn \(\Rightarrow b⋮4\Rightarrow M⋮4\)

Vậy M = abc \(⋮\)3 . 4. 5 = 60