Question

[zitzetey]

Giúp mk bài này vs ạ

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

O M B P Q H A N E I L

a/ Nối M với N

\(AB\perp OH\)=> AB là tiếp tuyến (O) 

Ta có

 \(AO\perp MH;BO\perp NH\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường thẳng nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc và chia đôi dây cung nối 2 tiếp điểm) \(\Rightarrow\widehat{MHN}=\widehat{AOB}=90^o\) (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

\(\Rightarrow PM=PH;QN=QH\)

Ta có

\(sđ\widehat{MHN}=\frac{1}{2}sđ\) cung MN\(=90^o\)  (góc nội tiếp đường tròn) => sđ cung \(MN=180^o\) => MN là đường kính (O)

=>MN đi qua O => M, O, N thẳng hàng

b/ Gọi I là trung điểm của AB => IO là trung tuyến của \(\Delta OAB\)

Xét tg vuông OAB có

\(IO=IA=IB=\frac{AB}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

=> I là tâm đường tròn đường kính AB

Xét tứ giác ABNM có

\(AM\perp MN;BN\perp MN\)  => AM//BN => ABNM là hình thang

Ta có

OM=ON; IA=IB => IO là đường trung bình của hình thang ABNM => IO//BN

Mà \(BN\perp MN\Rightarrow IO\perp MN\) => MN là tiếp tuyến đường tròn đường kính AB

c/ 

Ta có

AM//BN (cmt) \(\Rightarrow\frac{EA}{EN}=\frac{EM}{EB}=\frac{AM}{BN}\) (theo talet)

Ta có 

AM=AH; BN=BH (hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ 1 điểm thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm = nhau)

\(\Rightarrow\frac{EA}{EN}=\frac{AM}{BN}=\frac{AH}{BH}\) => HE//BN (theo talet đảo)

Mà \(BN\perp MN\Rightarrow HE\perp MN\)

Xét \(\Delta MHN\) có

PM=PH; QN=QH (cmt) => PQ là đường trung bình của \(\Delta MHN\) => PQ // MN

Mà \(HE\perp MN\Rightarrow HE\perp PQ\)

\(HE\perp MN;AM\perp MN\) => HE//AM

Gọi L là giao của HE với MN

Xét \(\Delta AMN\) có

\(\frac{AN}{EN}=\frac{AM}{EL}\Rightarrow\frac{EA+EN}{EN}=\frac{EA}{EN}+1=\frac{AM}{EL}\) (1)

Xét \(\Delta AMB\) có

\(\frac{MB}{EB}=\frac{AM}{EH}\Rightarrow\frac{EM+EB}{EB}=\frac{EM}{EB}+1=\frac{AM}{EH}\) (2)

Mà \(\frac{EA}{EN}=\frac{EM}{EB}\left(cmt\right)\) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\frac{AM}{EL}=\frac{AM}{EH}\Rightarrow EL=EH\)

Xet tg MHL có 

PM=PH; EL=EH (cmt) => PE là đường trung bình của tg MHL => PE//MN

Mà PQ // MN (cmt)

=> PE trùng PQ (Từ P chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng // với MN) => P, Q, E thẳng hàng