Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1:
\(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ab-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)\cdot\left(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2\right)}{2}\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\right]}{2}>=0\)
=>\(a^3+b^3+c^3>=3abc\)
Lời giải:
Áp dụng bđt AM-GM:
\(a^2+2b^2+3=(a^2+b^2)+(b^2+1)+2\geq 2(ab+b+1)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a^2+2b^2+3}\leq \frac{1}{2(ab+b+1)}\). Tương tự với các phân thức còn lại:
\(\Rightarrow 2\text{VT}\leq \frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=A\)
Dựa vào đk \(abc=1\) dễ thấy \(A=1\).
Cách CM:
\(A=\frac{c}{1+bc+c}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{c+1}{bc+c+1}+\frac{bc}{c+1+bc}=1\) (đpcm)
\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{1}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
1) ta đặc \(a^2+a+1=P=0\) \(\Rightarrow\left(a-1\right).p=0\) (vì \(P=0\))
ta có : \(P=a^2+a+1=0\Leftrightarrow a.P=a\left(a^2+a+1\right)=0\) (vì \(P=0\) )
\(\Leftrightarrow a.P=a^3+a^2+a=0\)
\(\Rightarrow a.P-P=\left(a-1\right).P=\left(a^3+a^2+a\right)-\left(a^2+a+1\right)\)
\(\left(a-1\right).P=a^3-1=0\Leftrightarrow a^3=1\) (vì \(\left(a-1\right).P=0\))
vậy \(a^3=1\left(đpcm\right)\)
2) ta có: \(a^2-2a+4=0\Leftrightarrow a^2-2a+1+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+3=0\)
ta có : \(\left(a-1\right)^1\ge0\) với mọi \(a\) \(\Rightarrow\left(a-1\right)^2+3\ge3>0\) với mọi \(a\)
vậy phương trình : \(a^2-2a+4=0\) vô nghiệm
vậy không có giá trị \(a\) thỏa mảng \(\Leftrightarrow a^3+\dfrac{1}{a^3}\) không tồn tại và không có giá trị
Áp dụng công thức biến tích thành tổng:
\(cos\left(a+b\right).cos\left(a-b\right)=\dfrac{1}{2}\left(cos2a+cos2b\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(2cos^2a-1+1-2sin^2b\right)=\dfrac{1}{2}\left(2cos^2a-2sin^2b\right)\)
\(=cos^2a-sin^2b\)
\(cos\left(\dfrac{\pi}{4}+a\right).cos\left(\dfrac{\pi}{4}-a\right)+\dfrac{1}{2}sin^2a=\dfrac{1}{2}\left(cos\dfrac{\pi}{2}+cos2a\right)+\dfrac{1}{2}sin^2a\)
\(=\dfrac{1}{2}cos2a+\dfrac{1}{2}sin^2a=\dfrac{1}{2}\left(cos^2a-sin^2a\right)+\dfrac{1}{2}sin^2a\)
\(=\dfrac{1}{2}cos^2a\)
a/ (2a+3b)^2 = (2a)^2+2.2a.3b+(3b)^2 = 4a^2+12ab+9b^2
b/ ta nhân đa thức với đa thức thì kết quả sẽ = -9a^2+25
c/ (x^2-3y)^2= (x^2)^2-2.x^2.3y+(3y)^2= x^4-6x^2y+9y^2