Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) áp dụng bđt cô si cho 2 số ta có
\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}}\)
⇔ \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\) (đpcm )
b) áp dụng bđt cô si dạng phân số ta có
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}\)
⇔ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\) (đpcm)
By Titu's Lemma we easy have:
\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{17}{4}\)
Mk xin b2 nha!
\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(P=x+y+\frac{9}{x}+\frac{16}{y}=x+\frac{9}{x}+y+\frac{16}{y}\ge2\sqrt{x.\frac{9}{x}}+2\sqrt{y.\frac{16}{y}}=14\)
Dấu \(=\)khi \(x=3,y=4\).
Có thể đề bài đúng phải là điều kiện \(x+y\le4\).
Ta có:
\(P=x+y+\frac{9}{x}+\frac{16}{y}=\frac{49}{16}x+\frac{9}{x}+\frac{49}{16}y+\frac{16}{y}-\frac{33}{16}\left(x+y\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{49}{16}x\times\frac{9}{x}}+2\sqrt{\frac{49}{16}y\times\frac{16}{y}}-\frac{33}{16}\times4\)
\(=\frac{21}{2}+14-\frac{33}{4}=\frac{65}{4}\)
Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}\frac{49}{16}x=\frac{9}{x}\\\frac{49}{16}y=\frac{16}{y}\\x+y=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{12}{7}\\y=\frac{16}{7}\end{cases}}\).