Câu hỏi của Namikage Athena

Question

Giải phương trình:

(x²+x+1)²=3.(x⁴+x²+1)

x⁵=x⁴+x⁴+x²+x+2

Minh Nguyen · Accepted Answer

1/ $\left(x^2+x+1\right)^2=3\left(x^4+x^2+1\right)$

$\Leftrightarrow x^4+x^2+1+2x^3+2x^2+2x=3x^4+3x^2+3$

$\Leftrightarrow x^4-3x^4+2x^3+x^2+2x^2-3x^2+2x+1-3=0$

$\Leftrightarrow-2x^4+2x^3+2x-2=0$

$\Leftrightarrow-2\left(x^4-x^3-x+1\right)=0$

$\Leftrightarrow-2\left(x^3\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\right)=0$

$\Leftrightarrow-2\left(x^3-1\right)\left(x-1\right)=0$

$\Leftrightarrow-2\left(x-1\right)^2\left(x^2+x+1\right)=0$

$\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\x^2+x+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\left(tm\right)\\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=0\left(ktm\right)\end{cases}}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{1\right\}$

2/ Theo tớ chỗ này cậu viết sau đề rồi :D Sửa nhé :

$x^5=x^4+x^3+x^2+x+2$

$\Leftrightarrow x^5-x^4-x^3-x^2-x-2=0$

$\Leftrightarrow x^5-2x^4+x^4-2x^3+x^3-2x^2+x^2-2x+x-2=0$

$\Leftrightarrow x^4\left(x-2\right)+x^3\left(x-2\right)+x^2\left(x-2\right)+x\left(x-2\right)+\left(x-2\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)=0$

$\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-2=0\x^4+x^3+x^2+x+1=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\x^4+x^3+x^2+x+1=0\end{cases}}}$

Với $x^4+x^3+x^2+x+1=0$ (1)

Nhân cả 2 vế với $x-1$ta được :

$\left(x-1\right)\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)=0$

$\Leftrightarrow x^5+x^4+x^3+x^2+x+1-\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)=0$

$\Leftrightarrow x^5-1=0$

$\Leftrightarrow x=1$

Thay $x=1$vào (1)

$\Leftrightarrow$Vô lí

$\Leftrightarrow$$x^4+x^3+x^2+x+1\ne0$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{2\right\}$

Câu trả lời: