Question

[Đông Sơn Lê]

Giải phương trình:

\(\sqrt{x+4\sqrt{x-3}+1}+\sqrt{x-4\sqrt{x-3}+1}=x-11\)

Answer 1

[Lê Song Phương]

Điều kiện \(x\ge11\)

pt đã cho \(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-3\right)+4\sqrt{x-3}+4}+\sqrt{\left(x-3\right)-4\sqrt{x-3}+4}=x-11\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-3}+2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-3}-2\right)^2}=x-11\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-3}+2+\left|\sqrt{x-3}-2\right|=x-11\) (*) (do \(\sqrt{x-3}+2>0\) với \(x\ge11\))

Xét trường hợp \(\sqrt{x-3}-2< 0\Leftrightarrow\sqrt{x-3}< 2\Leftrightarrow x-3< 4\Leftrightarrow x< 7\) (trường hợp này không xảy ra do \(x\ge11\))

Xét trường hợp \(\sqrt{x-3}-2\ge0\Leftrightarrow x\ge7\), kết hợp với điều kiện \(x\ge11\) thì trong trường hợp này, \(x\ge11\)

Khi đó (*) \(\Leftrightarrow\sqrt{x-3}+2+\sqrt{x-3}-2=x-11\) 

\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{x-3}-11=0\) \(\Leftrightarrow\left(x-3\right)-2\sqrt{x-3}-8=0\)  (1)

Đặt \(\sqrt{x-3}=p\left(p\ge2\sqrt{2}\right)\), khi đó (1) trở thành:

\(p^2-2p-8=0\Leftrightarrow\left(p-1\right)^2-9=0\) \(\Leftrightarrow\left(p-1+3\right)\left(p-1-3\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left(p+2\right)\left(p-4\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}p=-2\left(loại\right)\\p=4\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{x-3}=4\Leftrightarrow x-3=16\Leftrightarrow x=19\left(nhận\right)\)

Vậy pt đã cho có tập nghiệm là \(S=\left\{19\right\}\)