Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(u=2^x\left(u>0\right)\) thì phương trình trở thành \(u^2-\sqrt{u+6}=6\)
Tiếp tục đặt \(v=\sqrt{u+6}\left(v>6\right)\) thì \(v^2=u+6\) và ta có hệ phương trình đối xứng
\(\begin{cases}u^2=v+6\\v^2=u+6\end{cases}\)
Trừ vế với vế ta được :
\(u^2-v^2=-\left(u-v\right)\Leftrightarrow\left(u-v\right)\left(u+v+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}u-v=0\\u+v+1=0\end{cases}\)
Với u=v ta được \(u^2=u+6\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}u=-2\\u=3\end{cases}\) (u=-2 loại)
\(\Leftrightarrow2^x=3\Leftrightarrow x=\log_23\)
Với \(u+v+1=0\) ta được \(u^2+u-5=0\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}u=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}\\u=\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\end{cases}\)
Loại \(u=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}\)
\(\Leftrightarrow2^x=\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\Leftrightarrow x=\log_2\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\)
Vậy phương trình có 2 nghiệm
\(x=\log_2\frac{-1-\sqrt{21}}{2};x=8\)
đặt t = 2^x ( t >=0 ) pt <=> t^2 - căn(t+6) = 6 <=> t^2 - 6 = căn(t+6) (DK : t^2-6 >=0 ) pt <=> (t^2-6)^2 = t+6 <=> t^4 - 12t^2 - t + 30 = 0 <=> ( t - 3 ) ( t^3 + 3t^2 - 3t -10 ) =0 (so với ĐK ) <=> t =3 , với t = 3 <=> 2^x = 3 <=> x = log 3 của 2 ( hay = 1,584962501 ) là nghiệm của pt . ( chúc bạn học tốt )
Lời giải:
Câu 1:
\(5^{2x}=3^{2x}+2.5^x+2.3^x\)
\(\Leftrightarrow 5^{2x}-2.5^x+1=3^{2x}+2.3^x+1\)
\(\Leftrightarrow (5^x-1)^2=(3^x+1)^2\)
\(\Leftrightarrow (5^x-1-3^x-1)(5^x-1+3^x+1)=0\)
\(\Leftrightarrow (5^x-3^x-2)(5^x+3^x)=0\)
Vì \(3^x,5^x>0\Rightarrow 3^x+5^x>0\), do đó từ pt trên ta có \(5^x-3^x=2\)
\(\Leftrightarrow 5^x=3^x+2\)
TH1: \(x>1\)
\(\Rightarrow 5^x=3^x+2< 3^x+2^x\)
\(\Leftrightarrow 1< \left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{2}{5}\right)^x\)
Vì bản thân \(\frac{2}{5},\frac{3}{5}<1\), và \(x>1\Rightarrow \left(\frac{2}{5}\right)^x< \frac{2}{5};\left(\frac{3}{5}\right)^x<\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \left(\frac{2}{5}\right)^x+\left(\frac{3}{5}\right)^x< 1\) (vô lý)
TH2: \(x<1 \Rightarrow 5^x=3^x+2> 3^x+2^x\)
\(\Leftrightarrow 1>\left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{2}{5}\right)^x\)
Vì \(\frac{2}{5};\frac{3}{5}<1; x<1\Rightarrow \left(\frac{3}{5}\right)^x> \frac{3}{5}; \left(\frac{2}{5}\right)^x>\frac{2}{5}\Rightarrow \left(\frac{2}{5}\right)^x+\left(\frac{3}{5}\right)^x>1\)
(vô lý)
Vậy \(x=1\)
Câu 2:
Ta có \(1+6.2^x+3.5^x=10^x\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{10^x}+6.\frac{1}{5^x}+3.\frac{1}{2^x}=1\)
\(\Leftrightarrow 10^{-x}+6.5^{-x}+3.2^{-x}=1\)
Ta thấy, đạo hàm vế trái là một giá trị âm, vế phải là hàm hằng có đạo hàm bằng 0, do đó pt có nghiệm duy nhất.
Thấy \(x=2\) thỏa mãn nên nghiệm duy nhất của pt là x=2
Câu 3:
\(6(\sqrt{5}+1)^x-2(\sqrt{5}-1)^x=2^{x+2}\)
Đặt \(\sqrt{5}+1=a\), khi đó sử dụng định lý Viete đảo ta duy ra a là nghiệm của phương trình \(a^2-2a-4=0\)
Mặt khác, từ pt ban đầu suy ra \(6.a^x-2\left(\frac{4}{a}\right)^x=2^{x+2}\)
\(\Leftrightarrow 6.a^{2x}-2^{x+2}a^x-2^{2x+1}=0\)
\(\Leftrightarrow 2(a^x-2^x)^2+4(a^{2x}-2^{2x})=0\)
\(\Leftrightarrow 2(a^x-2^x)^2+4(a^x-2^x)(a^x+2^x)=0\)
\(\Leftrightarrow (a^x-2^x)(6a^x+2^{x+1})=0\)
Dễ thấy \(6a^x+2^{x+1}>0\forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow a^x-2^x=0\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{5}+1)^x=2^x\Leftrightarrow x=0\)