Câu hỏi của ITACHY

Question

Giải hệ pt:

$\left\{{}\begin{matrix}2x^2+\dfrac{1}{y^4}=3\2y^2+\dfrac{1}{x^4}=3\end{matrix}\right.$

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:
Lấy PT(1) trừ PT(2) theo vế ta thu được:

$2(x^2-y^2)+\frac{1}{y^4}-\frac{1}{x^4}=0$

$\Leftrightarrow 2(x^2-y^2)+\frac{x^4-y^4}{x^4y^4}=0$

$\Leftrightarrow 2(x^2-y^2)+\frac{(x^2-y^2)(x^2+y^2)}{x^4y^4}=0$

$\Leftrightarrow (x^2-y^2)\left(2+\frac{x^2+y^2}{x^4y^4}\right)=0$

Thấy rằng $2+\frac{x^2y^2}{x^4y^4}\neq 0$ với mọi $x,y\neq 0$

Do đó $x^2-y^2=0\Rightarrow x^2=y^2\Rightarrow x^4=y^4$

Thay vào PT(1): $2x^2+\frac{1}{x^4}=3$

$\Leftrightarrow 2x^6-3x^4+1=0$

$\Leftrightarrow 2x^4(x^2-1)-(x^4-1)=0$

$\Leftrightarrow 2x^4(x^2-1)-(x^2-1)(x^2+1)=0$

$\Leftrightarrow (x^2-1)(2x^4-x^2-1)=0$

$\Leftrightarrow (x^2-1)(x^2-1)(2x^2+1)=0$

$\Leftrightarrow (x^2-1)^2(2x^2+1)=0\Rightarrow x^2-1=0$ (dễ thấy $2x^2+1\neq 0)$

$\Rightarrow x^2=1=y^2$

$\Rightarrow x=\pm 1; y=\pm 1$

Vậy $(x,y)=(1,-1); (1,1); (-1,-1), (-1,1)$

Câu trả lời: