Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đúng là chơi lừa bịp thực sự bài này rất dễ đây là cách giải:
ta có: \(\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^4+.....+\left(x+z\right)^{100}\ge0\)còn \(-\left(y+z+x\right)\le0\) nên phương trình 1 vô lý
tương tự chứng minh phương trinh 2 và 3 vô lý
vậy \(\hept{\begin{cases}x=\varnothing\\y=\varnothing\\z=\varnothing\end{cases}}\)
thực sự bài này mới nhìn vào thì đánh lừa người làm vì các phương trình rất phức tạp nhưng nếu nhìn kĩ lại thì nó rất dễ vì các trường hợp đều vô nghiệm
\(\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^4+...+\left(x+z\right)^{100}=-\left(y+z+x\right)\)
Đặt : \(A=\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^4+...+\left(x+z\right)^{100}\)
Ta dễ dàng nhận thấy tất cả số mũ đều chẵn
\(=>A\ge0\)(1)
Đặt : \(B=-\left(y+z+x\right)\)
\(=>B\le0\)(2)
Từ 1 và 2 \(=>A\ge0\le B\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(A=B=0\)
Do \(B=0< =>y+z+x=0\)(3)
\(A=0< =>\hept{\begin{cases}x+y=0\\y+z=0\\x+z=0\end{cases}}\)(4)
Từ 3 và 4 \(=>x=y=z=0\)
Vậy nghiệm của pt trên là : {x;y;z}={0;0;0}
tiếp tục câu 2,vì máy bị lỗi nên phải tách ra:
Ta có:\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+xz+yz\right)\right).\)
Dó đó:\(x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+yz+xz\right)+2010\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)^3.\)(2)
TỪ \(\left(1\right),\left(2\right)\)suy ra \(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^3}=\frac{1}{x+y+z}.\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{2010}}{3}\)
2)Ta có:
\(x\left(x^2-yz+2010\right)=x\left(x^2+xy+xz+1340\right)>0\)
Tương tự ta có:\(y\left(y^2-xz+2010\right)>0,z\left(z^2-xy+2010\right)>0\)
Áp dụng svac-xơ ta có:
\(P=\frac{x^2}{x\left(x^2-yz+2010\right)}+\frac{y^2}{y\left(y^2-xz+2010\right)}+\frac{z^2}{z\left(z^2-xy+2010\right)}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)}.\)(1)
trước tiên ta phải cm: \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\left(#\right)\left(\forall a,b,c\in R;x,y,z>0\right)\)
dấu = xảy ra khi zà chỉ khi\(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
thật zậy , zới \(a,b\in R;x,y>0\)ta có \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\left(##\right)\left(a,b\in R;x,y>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2y+b^2x\right)\left(x+y\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow\left(bx-ay\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
dấu = xảy ra khi zà chỉ khi\(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
* áp dụng bất đẳng thức (##) ta được
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
dấu = xảy ra khi zà chỉ khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)\
* áp dụng bất đẳng thức (#) ta có
vt = \(\frac{x^2}{x\left(x^2-yz+2010\right)}+\frac{y^2}{y\left(y^2-xz+2010\right)}+\frac{z^2}{z\left(z^2-xy+2010\right)}\)
=\(\frac{x^2}{x\left(x^2-yz+2010\right)}+\frac{y^2}{y\left(y^2-xz+2010\right)}+\frac{z^2}{z\left(z^2-xy+2010\right)}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^3}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)}\left(1\right)\)
Lưu ý nhé : \(x\left(x^2-yz+2010\right)=x\left(x^2+xy+zx+1340\right)>0\)
\(y\left(y^2-xz+2010\right)>0\)
\(z\left(z^2-xy+2010\right)>0\)
Ta có \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+yz+xz\right)\right]\)
do dó \(x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)\) \(\)
=\(\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+yz+zx\right)+2010\right]\)
=\(\left(x+y+z\right)^3\left(2\right)\)
Từ (1) zà (2) suy ra
vt \(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^3}=\frac{1}{x+y+z}\)
dấu = xảy ra khi zà chỉ khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{2010}}{3}\)
Ta có : \(\frac{x}{x^2-yz+2010}+\frac{y}{y^2-xz+2010}+\frac{z}{z^2-xy+2010}\)
\(=\frac{x^2}{x^3-xyz+2010x}+\frac{y^2}{y^3-xyz+2010y}+\frac{z^2}{z^3-xyz+2010z}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+3\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3+3xy^2+3x^2y+3x^2z+3xz^2+3y^2z+3yz^2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^3}=\frac{1}{x+y+z}\)