Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài làm :
\(D=\left|\frac{m-3;4}{-m;5}\right|=5\left(m-3\right)+4m\)
\(D_x=\left|\frac{3m;4}{4m-1;5}\right|=15m-4\left(4m-1\right)\)
\(D_y=\left|\frac{m-3;3m}{-m;4m-1}\right|=\left(m-3\right)\left(4m-1\right)+3m^2\)
a) Hệ có 1 nghiệm duy nhất (x;y)\(\Leftrightarrow D\ne0\)
<=> \(5m-15+4m\ne0\Leftrightarrow m\ne\frac{15}{9}\)
Nghiệm (x;y) là : \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{15m-16m+4}{5m-15+4m}=\frac{-m+4}{9m-15}\\y=\frac{4m^2-m-12m+3+3m^2}{5m-15+4m}=\frac{7m^2-13m+3}{9m+15}\end{matrix}\right.\)
b) Hệ vô nghiệm <=> D=0 <=> \(m=\frac{15}{9}\)
Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}D=0\\D_x=\frac{7}{3}\\D_y=\frac{7}{9}\end{matrix}\right.\)
Vậy m=15/9 thì hệ vô nghiệm.
a) Với m =1 thay vào hệ ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=1\\x+2y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{3}\\y=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
b) \(D=\left|\frac{2;1}{1;m+1}\right|=2\left(m+1\right)-1\)
\(D_x=\left|\frac{m;1}{1;m+1}\right|=m\left(m+1\right)-1\)
\(D_y=\left|\frac{2;m}{1;1}\right|=2-m\)
+) Hệ có nghiệm duy nhất <=> \(D\ne0\Leftrightarrow2m+2-1\ne0\Leftrightarrow m\ne-\frac{1}{2}\)
Nghiệm (x;y) là: \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{m^2+m-1}{2m+2-1}=\frac{m^2+m-1}{2m +1}\\y=\frac{2-m}{2m+2-1}=\frac{2-m}{2m+1}\end{matrix}\right.\)
+) Hệ vô nghiệm <=> D=0 <=> m=-1/2
Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}D=0\\D_x=\frac{-5}{4}\\D_y=\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\)
Hệ vô nghiệm khi m=-1/2
\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)=\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\left(1\right)\\16x^5-20x^3+5\sqrt{xy}=\sqrt{\dfrac{y+1}{2}}\left(2\right)\end{matrix}\right.\).
ĐKXĐ: \(xy>0;y\ge-\dfrac{1}{2}\).
Nhận thấy nếu x < 0 thì y < 0. Suy ra VT của (1) âm, còn VP của (1) dương (vô lí)
Do đó x > 0 nên y > 0.
Với a, b > 0 ta có bất đẳng thức \(\left(a+b\right)^4\le8\left(a^4+b^4\right)\).
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:
\(\left(a+b\right)^4\le\left[2\left(a^2+b^2\right)\right]^2=4\left(a^2+b^2\right)^2\le8\left(a^4+b^4\right)\).
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
\(\left(\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\right)^4\le8\left[8\left(x^4+y^4\right)+16x^2y^2\right]=64\left(x^2+y^2\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\right)^2\le8\left(x^2+y^2\right)\). (3)
Lại có \(4\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)^2=4\left(\dfrac{x^6}{y^4}+2xy+\dfrac{y^6}{x^4}\right)\). (4)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có \(\dfrac{x^6}{y^4}+xy+xy+xy+xy\ge5x^2;\dfrac{y^6}{x^4}+xy+xy+xy+xy\ge5y^2;3\left(x^2+y^2\right)\ge6xy\).
Cộng vế với vế của các bđt trên lại rồi tút gọn ta được \(\dfrac{x^6}{y^4}+2xy+\dfrac{y^6}{x^4}\ge2\left(x^2+y^2\right)\). (5)
Từ (3), (4), (5) suy ra \(4\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)^2\ge\left(\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\right)^2\Rightarrow2\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)\ge\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\).
Do đó đẳng thức ở (1) xảy ra nên ta phải có x = y.
Thay x = y vào (2) ta được:
\(16x^5-20x^3+5x=\sqrt{\dfrac{x+1}{2}}\). (ĐK: \(x>0\))
PT này có một nghiệm là x = 1 mà sau đó không biết giải ntn :v
HPT \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^3+x^2y+xy^2=5\\x^3+y^3-x^2y-xy^2=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^3=4\\x^2y+xy^2=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3x^2y+3xy^2=4+3=7\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3=7\Leftrightarrow x+y=\sqrt[3]{7}\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{7}-y\)(1)
Đến đây bạn thay (1) vào một trong những phương trình trên kia để tìm x , y. Số xấu quá nên mình cũng lười làm lắm.
b) Lấy pt đầu trừ pt dưới thu được:
\(x^3-y^3+2\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+2\right)=0\)
Do \(x^2+xy+y^2=\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+2>0\)
Do đó x = y. Thay vào pt đầu thu được:
\(x^3-2x-1=0\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2-x-1\right)=0\)
c) Lấy pt trên trừ pt dưới:
\(2\left(x^2-y^2\right)-3\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(2x+2y-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\2x+2y-3=0\end{matrix}\right.\)
Auto làm nốt:D
P/s: Is that true?
2/
Cộng vế với vế:
\(\Rightarrow2x^2+xy-3x-y+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x^2-3x+1\right)+y\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(x-1\right)+y\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x-1+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\2x+y=1\end{matrix}\right.\)
TH1: \(x=1\Rightarrow y^2-y=0\Rightarrow...\)
Th2: \(y=1-2x\)
\(\Rightarrow x^2-x\left(1-2x\right)+\left(1-2x\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow...\)
a/ \(xy+1=x^2+y\Leftrightarrow x^2-1-xy+y=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)-y\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1-y\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=x+1\end{matrix}\right.\)
- Với \(x=1\Rightarrow y^2+6y-8=0\Rightarrow...\)
- Với \(y=x+1\)
\(\Rightarrow\left(x^2-6x+6\right)x^2+6x+1=0\)
\(\Leftrightarrow x^4-6x^3+6x^2+6x+1=0\)
Nhận thấy \(x=0\) ko phải nghiệm, chia 2 vế cho \(x^2\)
\(x^2+\frac{1}{x^2}-6\left(x-\frac{1}{x}\right)+6=0\)
Đặt \(x-\frac{1}{x}=t\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=t^2+2\)
\(\Rightarrow t^2+2-6t+6=0\Leftrightarrow t^2-6t+8=0\Leftrightarrow...\)
\(\left\{{}\begin{matrix}4x^2-4xy+4y^2=4\\x^2+xy+2y^2=4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow3x^2-5xy+2y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(3x-2y\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=x\\y=\frac{3}{2}x\end{matrix}\right.\)
Thay vào pt đầu:
- Với \(y=x\Rightarrow x^2-x^2+x^2=1\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=...\)
- Với \(y=\frac{3}{2}x\Rightarrow x^2-\frac{3}{2}x^2+\left(\frac{3}{2}x\right)^2=1\Leftrightarrow x^2=\frac{4}{7}\Rightarrow x=...\)