Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT cô-si, ta có:
\(\frac{1}{\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(y+1\right)}+\frac{1}{\left(z+1\right)}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x+1\right)}\ge1-\frac{1}{\left(y+1\right)}+1-\frac{1}{\left(z+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{y}{\left(y+1\right)}+\frac{z}{\left(z+1\right)}\ge3\sqrt{\left(\frac{yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\right)}\)
Ta có:
\(\frac{1}{\left(x+1\right)}\ge3\sqrt{\frac{yz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\)(1)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(y+1\right)}\ge3\sqrt{\left(\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}\right)}\)(2)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(z+1\right)}\ge3\sqrt{\left(\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\right)}\)(3)
Từ (1); (2) và (3), ta có:
\(\frac{1}{\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(y+1\right)}+\frac{1}{\left(z+1\right)}\ge8\frac{xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
\(\Rightarrow xyz\le\frac{1}{8}.\text{ dau }=\text{xay ra khi }x=y=z=\frac{1}{2}\)
Với x,y,z dương
Ta có:(x-y)2\(\ge0\forall x;y\)
=>x2+y2\(\ge\)2xy
Dấu = xảy ra khi x=y
Tương tự y2+z2\(\ge\)2yz
z2+x2\(\ge\)2zx
Cộng vế với vế 3 BĐT =>2(x2+y2+z2)\(\ge\)2(xy+yz+zx)
<=>x2+y2+z2\(\ge\)xy+yz+zx
<=>\(\dfrac{3}{xy+yz+zx}\ge\dfrac{3}{x^2+y^2+z^2}\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=z
=>\(\dfrac{3}{xy+yz+zx}+\dfrac{2}{x^2+y^2+z^2}\ge\dfrac{5}{x^2+y^2+z^2}\)
Áp dụng BĐT bunhiacopski:
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}\right)\le\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^2=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{9}\)(Do x+y+z=1)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{3}\)<=>x=y=z
=>\(\dfrac{5}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{5}{3\cdot\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^2}\right)}\ge\dfrac{5}{3\cdot\dfrac{1}{9}}=15\)
=>\(\dfrac{3}{xy+yz+zx}+\dfrac{2}{x^2+y^2+z^2}\ge15\)(đpcm)
Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=y=z\\z+y+z=1\end{matrix}\right.\)<=>x=y=z=\(\dfrac{1}{3}\)
Bài này cũng dễ
Chuyển hết qua 1 vế ta được
a^2+4b^2+3c^2–2a–12b–6c >0
<=> (a–1)^2+(2b–3)^2+3(c–1)^2 >0
Vì bất đẳng thức cuối đúng
Nên cái đề
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(đúng)
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
Mà: \(a+b\ge2\)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\ge2\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3+b^3\)
=> ĐPCM
1.
\(\Delta=m^2-4\left(2m-5\right)=\left(m-4\right)^2+4>0;\forall m\)
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=2m-5\end{matrix}\right.\)
Để biểu thức đề bài xác định \(\Rightarrow m\ne-2\)
\(A=\frac{x_1x_2}{x_1+x_2+2}=\frac{2m-5}{m+2}=2-\frac{9}{m+2}\)
\(A\in Z\Rightarrow\frac{9}{m+2}\in Z\Rightarrow m+2=Ư\left(9\right)\)
\(\Rightarrow m+2=\left\{-9;-3;-1;1;3;9\right\}\)
\(\Rightarrow m=\left\{-11;-5;-3;-1;1;7\right\}\)
2.
Hệ pt tọa độ giao điểm A của d1 và d2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\-2x+y=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(1;1\right)\)
Để 3 đường thẳng đồng quy \(\Leftrightarrow\) d qua A
\(\Leftrightarrow1=\left(m-2\right).1+m+3\Rightarrow2m=0\Rightarrow m=0\)
b/ Gọi \(B\left(x;y\right)\) là điểm cố định mà d luôn đi qua
\(\Leftrightarrow y=\left(m-2\right)x+m+3\) ; \(\forall m\)
\(\Leftrightarrow m\left(x+1\right)+\left(-2x-y+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\-2x-y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=5\end{matrix}\right.\)
Vậy d luôn đi qua \(B\left(-1;5\right)\)
Bạn ghi thiếu điều kiện rồi là số thực dương
Ta có (x^2-2xy+y^2+2xy)/x-y
<=>[ (x-y)^2+2] / x-y
Tách ra làm 2 phân số
x-y+ (2/x-y)
Dùng cô-si cho 2 số dương
Thì biểu thức trên sẽ ≥ 2✓(x-y)(2/x-y)
= 2✓2
Vậy cái đề
Ko dùng cô si thì còn cách nào ko bạn