K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
VN
0
21 tháng 10 2017
bài 2
ta có \(\left(\sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}+\sqrt{8c^2+1}\right)^2\)
\(=\left(\sqrt{a}.\sqrt{\frac{8a^2+1}{a}}+\sqrt{b}.\sqrt{\frac{8b^2+1}{b}}+\sqrt{c}.\sqrt{\frac{8c^2+1}{c}}\right)^2\)\(=\left(A\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có;
\(\left(A\right)\le\left(a+b+c\right)\left(8a+\frac{1}{a}+8b+\frac{1}{b}+8c+\frac{8}{c}\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(9a+9b+9c\right)=9\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow3\left(a+b+c\right)\ge\sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}+\sqrt{8c^2+1}\)(đpcm)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=c=1\)
VT
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 10 2020
a/ Giải rồi
b/ ĐKXĐ: \(x\ge-1\)
Đặt \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=t>0\)
\(\Rightarrow t^2=3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}\) (1)
Pt trở thành:
\(t=t^2-6\Leftrightarrow t^2-t-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\\t=-2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3\)
\(\Leftrightarrow3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}=9\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{2x^2+5x+3}=5-3x\left(x\le\frac{5}{3}\right)\)
\(\Leftrightarrow4\left(2x^2+5x+3\right)=\left(5-3x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow...\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 10 2020
e/ ĐKXD: \(x>0\)
\(5\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)=2\left(x+\frac{1}{4x}\right)+4\)
Đặt \(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=t\ge\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow t^2=x+\frac{1}{4x}+1\)
Pt trở thành:
\(5t=2\left(t^2-1\right)+4\)
\(\Leftrightarrow2t^2-5t+2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=\frac{1}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=2\)
\(\Leftrightarrow2x-4\sqrt{x}+1=0\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}=\frac{2\pm\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{3\pm2\sqrt{2}}{2}\)
11 tháng 3 2020
Ta có : \(a\sqrt{32\left(b^2+c^2\right)}=2.2a\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}\le4a^2+2\left(b^2+c^2\right)\)
\(\left(b+c\right)^2\le2\left(b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow12\le4\left(a^2+b^2+c^2\right)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)
Ngoài ra \(a\sqrt{\left(16+16\right)\left(b^2+b^2\right)}\ge a\left(4a+4b\right)\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4bc\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\le3\)
\(VT=\frac{a^4}{ab+3a\sqrt{bc}}+\frac{b^4}{bc+3b\sqrt{ca}}+\frac{c^4}{ac+3c\sqrt{ba}}\)
\(\ge\frac{a^4}{ab+\frac{3}{2}\left(a^2+bc\right)}+\frac{b^4}{bc+\frac{3}{2}\left(b^2+ac\right)}+\frac{c^4}{ac+\frac{3}{2}\left(c^2+ab\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{5}{2}\left(ab+bc+ac\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{15}{2}}\)
Xét VT \(\ge\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\frac{9}{8}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{45}{8}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2-3\right)+\left(a^2+b^2+c^2+\frac{15}{8}\right)\ge0\) ( luôn đúng với \(a^2+b^2+c^2\ge3\) )
\(\Rightarrowđpcm\)
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c = 1