Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Gọi D là điều kiện xác định của biểu thức vế trái D = [- 8; +∞]. Vế trái dương với mọi x ∈ D trong khi vế phải là số âm. Mệnh đề sai với mọi x ∈ D. Vậy bất phương trình vô nghiệm.
b) Vế trái có ≥ 1 ∀x ∈ R,
≥ 1 ∀x ∈ R
=> +
≥ 2 ∀x ∈ R.
Mệnh đề sai ∀x ∈ R. Bất phương trình vô nghiệm.
c) ĐKXĐ: D = [- 1; 1]. Vế trái âm với mọi x ∈ D trong khi vế phải dương.
lời giải
a)
\(\left(x+1\right)\left(2x-1\right)+x\le2x^2+3\)
\(\Leftrightarrow2x^2+x-1+x\le2x^2+3\)
\(\Leftrightarrow2x\le4\Rightarrow x\le2\)
\(\)b) \(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)-x>x^3+6x^2-5\)
\(\left(x^2+3x+2\right)\left(x+3\right)-x>x^3+6x^2-5\)
\(x^3+3x^2+3x^2+9x+2x+6-x>x^3+6x^2-5\)
\(10x+6>-5\Rightarrow x>-\dfrac{11}{10}\)
c)Đkxđ: x≥0
x+√x>(2√x+3)(√x−1)
⇔x+√x>2x+√x−3
⇔x−3>0
⇔x>3. (tmđk).
1.ĐK: \(x\ge\dfrac{1}{4}\)
bpt\(\Leftrightarrow5x+1+4x-1-2\sqrt{20x^2-x-1}< 9x\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{20x^2-x-1}>0\)
\(\Leftrightarrow20x^2-x-1>0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x< \dfrac{-1}{5}\\x>\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
2.ĐK: \(-2\le x\le\dfrac{5}{2}\)
bpt\(\Leftrightarrow x+2+3-x-2\sqrt{-x^2+x+6}< 5-2x\)
\(\Leftrightarrow2x< 2\sqrt{-x^2+x+6}\)
\(\Leftrightarrow x^2< -x^2+x+6\)
\(\Leftrightarrow-2x^2+x+6>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{-3}{2}< x< 2\)
3. ĐK: \(\left\{{}\begin{matrix}12+x-x^2\ge0\\x\ne11\\x\ne\dfrac{9}{2}\end{matrix}\right.\)
.bpt\(\Leftrightarrow\sqrt{12+x-x^2}\left(\dfrac{1}{x-11}-\dfrac{1}{2x-9}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{-x^2+x+12}.\dfrac{x+2}{\left(x-11\right)\left(2x-9\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{x+2}{\left(x-11\right)\left(2x-9\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x+2}{2x^2-31x+99}\ge0\)
*Xét TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2\ge0\\2x^2-31x+99>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\\left[{}\begin{matrix}x< \dfrac{9}{2}\\x>11\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-2\le x< \dfrac{9}{2}\\x>11\end{matrix}\right.\)
*Xét TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2\le0\\2x^2-31x+99< 0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le-2\\\dfrac{9}{2}< x< 11\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\dfrac{9}{2}< x< 11\)
Điều kiện : \(x\ge1\)
\(3\left(x^2-2\right)+\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-x+1}}>\sqrt{x}\left(\sqrt{x-1}+3\sqrt{x^2-1}\right)\) \(\Leftrightarrow6\left(x^2-2\right)+\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-x+1}}-2\sqrt{x^2-x}-6\sqrt{x}\sqrt{x^2-1}>0\)
\(\Leftrightarrow3\left(\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{x^2-x}-1\right)^2+2\left(\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-x}+1}+x^2-x-5\right)>0\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{t+1}}+t-5,\left(t\ge0\right)\)
Ta có \(f'\left(t\right)=1-\frac{2\sqrt{2}}{\left(t+1\right)\sqrt{t+1}}\)
\(f'\left(t\right)=0\Leftrightarrow t=1\)
Bảng xét dấu :
| x | 0 1 +\(\infty\) |
| f'(x) | / - 0 + |
Suy ra \(f\left(t\right)\ge f\left(1\right)\), với mọi \(t\in\left[0;+\infty\right]\)\(\Rightarrow\) \(f\left(t\right)\ge0\), với mọi \(t\in\left[0;+\infty\right]\). Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow t=1\)
Do \(x^2-x\ge0\) với mọi \(x\in\left[0;+\infty\right]\)\(\Rightarrow\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-x+1}}+x^2-x-5\ge0\) với mọi \(x\in\left[0;+\infty\right]\), dấu = xảy ra khi \(x^2-x=1\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
Khi đó \(3\left(\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{x^2-1}-1\right)^2+2\left(\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-1}+1}+x^2-x-5\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x}\ne0\\\sqrt{x^2-x}-1\ne0\\\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-x+1}}+x^2-x-5\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x\ne\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
\(S=\left(1;+\infty\right)\backslash\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\)
Câu 2:
Đối với BPT \(\left|x-1\right|\sqrt{x+3}>\left|x-1\right|\)
Nếu x=1 thì BPT vô nghiệm
Nếu x<>1 thì BPT sẽ tương đương với \(\sqrt{x+3}>\dfrac{\left|x-1\right|}{\left|x-1\right|}=1\)
Do đó: Nếu muốn hai BPT tương đương thì x<>1