Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
- \(\Delta^'=m^2-\left(m-1\right)\left(m+1\right)=m^2-m^2+1=1>0\)vậy phương trình luôn có hai nghiệm với mọi \(m\ne1\)
- Theo viet ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m+1\end{cases}}\)\(\Rightarrow m+1=5\Rightarrow m=4\Rightarrow x_1+x_2=2m=2.4=8\)
- từ hệ thức viet ta khử m được hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm ko phụ thuộc m: thấy \(x_1+x_2-2x_2x_1=2m-2\left(m+1\right)=-2\)
- \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=-\frac{5}{2}\Leftrightarrow\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=-\frac{5}{2}\Leftrightarrow\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=-\frac{5}{2}\)\(\Leftrightarrow\frac{4m^2-2m-2}{m+1}=-\frac{5}{2}\Rightarrow8m^2-4m-4=-5m-5\left(m\ne-1\right)\)\(\Leftrightarrow8m^2+m+1=0\left(vn\right)\)không có giá trị nào của m thỏa mãn
Giả sử pt: \(x^2+bx+c=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) thỏa mãn đề bài.
Theo hệ thức Vi - ét ta có: \(x_1+x_2=-b\) và \(x_1x_2=c\)
Kết hợp với giải thiết ta có: \(x_1=x^2_2+x_2\) và \(b+c=4\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)=4\)
\(\Leftrightarrow x^3_2-2x_2-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_2-2\right)\left(x^2_2+2x_2+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x_2=2\)(Vì: \(x^2_2+2x_2+2=\left(x_2+1\right)^2+1>0\))
Khi đó ta có: \(x_1=4+2=6\Rightarrow b=-8\)và \(c=12\)
Thử lại với \(b=-8;c=12\)ta được pt sau:
\(x^2-8x+12=0\)
\(\Leftrightarrow x_1=6;x_2=2\)(Thỏa mãn yêu cầu bài toán)
Vậy \(\left(b,c\right)=\left(-8;12\right)\) là cặp cần tìm.
Áp dụng định lí viet: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1.x_2=\frac{c}{a}\)
\(ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)=a\left(x^2-\left(x_1+x_2\right)x+x_1.x_2\right)=a\left[\left(x^2-x_1.x\right)-\left(x_2x-x_1x_2\right)\right]\)
=\(a\left[x\left(x-x_1\right)-x_2\left(x-x_1\right)\right]=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\)
Để phương trình có hai nghiệm thì \(\Delta'>0\).
\(\Delta'=\left(m-2\right)^2+\left(m-1\right)=m^2-3m+3=\left(m-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)
Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\).
Theo Viet:
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-2\right)\\x_1x_2=-m+1\end{cases}}\)
\(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+4x_1^2x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2+4x_1^2x_2^2\)
\(=4\left(m-2\right)^2+4\left(m-1\right)+4\left(m-1\right)^2=4\left(2m^2-5m+4\right)=4\)
\(\Leftrightarrow2m^2-5m+4=1\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=\frac{3}{2}\\m=1\end{cases}}\)
Theo Vi et ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\x_1x_2=\frac{c}{a}\end{cases}}\)
Theo giả thuyết thì:
\(x_1^2+x_2^2=2x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}=0\)
\(\Leftrightarrow b^2-4ac=0\)
Vậy ta có ĐPCM