N
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HN
4 tháng 12 2017
Ta có:
\(\dfrac{1}{\left(x-1\right)^3}+1+1+\left(\dfrac{x-1}{y}\right)^3+1+1+\dfrac{1}{y^3}+1+1\)
\(\ge3\left(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{x-1}{y}+\dfrac{1}{y}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(x-1\right)^3}+\left(\dfrac{x-1}{y}\right)^3+\dfrac{1}{y^3}\ge3\left(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{x-1}{y}+\dfrac{1}{y}-2\right)\)
\(=3\left(\dfrac{3-2x}{x-1}+\dfrac{x}{y}\right)\)
5 tháng 11 2019
Áp dụng BĐT cô si\(\frac{1}{\left(x-1\right)^3}+1+1\ge\sqrt[3]{\frac{1}{\left(x-1\right)^3}\cdot1\cdot1}=\frac{1}{x-1}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(x-1\right)^3}\ge\frac{3}{x-1}-2\left(1\right)\)
\(\left(\frac{x-1}{y}\right)^3+1+1\ge3\sqrt[3]{\left(\frac{x-1}{y}\right)^3\cdot1\cdot1}=\frac{3x-3}{y}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{x-1}{y}\right)^3\ge\frac{3x-3}{y}-2\left(2\right)\)
\(\frac{1}{y^3}+1+1\ge\sqrt[3]{\frac{1}{y^3}\cdot1\cdot1}=\frac{3}{y}\Rightarrow\frac{1}{y^3}=\frac{3}{y}-2\left(3\right)\)
Cộng vế theo vế của \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\) ta có:
\(VT\ge\frac{3}{x-1}-6+\frac{3x-3}{y}+\frac{3}{y}\)
\(=\frac{3-6x+6}{x-1}+\frac{3x}{y}\)
\(=3\left(\frac{3-2x}{x-1}+\frac{x}{y}\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 3 2020
ĐKXĐ: ...
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+\frac{1}{y^2}+x+\frac{1}{y}=4\\x^2\left(x+\frac{1}{y}\right)+\frac{1}{y^2}\left(x+\frac{1}{y}\right)=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+\frac{1}{y^2}+x+\frac{1}{y}=4\\\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(x+\frac{1}{y}\right)=4\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left(x^2+\frac{1}{y^2};x+\frac{1}{y}\right)=\left(u;v\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u+v=4\\uv=4\end{matrix}\right.\)
Theo Viet đảo, u và v là nghiệm:
\(t^2-4t+4=0\Rightarrow t=2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+\frac{1}{y^2}=2\\x+\frac{1}{y}=2\end{matrix}\right.\)
Bạn tự giải nốt
5 tháng 11 2019
Bạn tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Phan Thị Hà Vy - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Ta có:
\(P=\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+x}=\frac{x^3}{xy+y}+\frac{y^3}{xy+x}=\frac{x^4}{x+1}+\frac{y^4}{y+1}\)
\(=\frac{x^4-1}{x+1}+\frac{y^4-1}{y+1}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\)
\(=\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)+\left(y^2+1\right)\left(y-1\right)+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\)
\(=\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)+\left(\frac{1}{x^2}+1\right)\left(\frac{1}{x}-1\right)+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{\frac{1}{x}+1}\)
\(=\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)-\frac{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}{x^3}+\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x+1}\)
\(=\frac{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)\left(x^3-1\right)}{x^3}+\frac{x+1}{x+1}\)
\(\ge\frac{2x\left(x-1\right)^2\left(x^2+x+1\right)}{x^3}+1\)
\(=\frac{2\left(x-1\right)^2.3\sqrt[3]{x^2.x.1}}{x^2}+1=\frac{6\left(x-1\right)^2}{x}+1\)
\(=6\frac{x^2-2x+1}{x}+1=6.\frac{x^2+1}{x}-11\ge12-11=1\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1
Vậy min P = 1 tại x = y = 1.