Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b) Áp dụng bđt Svac-xơ:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{y}+\dfrac{16}{z}\ge\dfrac{\left(1+3+4\right)^2}{x+y+z}\ge\dfrac{64}{4}=16>9\)
=> hpt vô nghiệm
c) Ở đây x,y,z là các số thực dương
Áp dụng cosi: \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)=3xyz\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{3}{3}=1\)
Lời giải:
$\left\{\begin{matrix}x^2(y-z)=\frac{-5}{3} (1)\\ y^2(z-x)=3 (2)\\ z^2(x-y)=\frac{1}{3} (3)\end{matrix}\right.$
Ta có "vòng đặc biệt" này: $(x^2y^2-z^2x^2)+(y^2z^2-x^2y^2)+(z^2x^2-y^2z^2)=0$.
Từ đó, ta lấy: $(1).(y+z)+(2).(z+x)+(3).(x+y)=0$, ta được: $y-z=\frac{5}{2}x$.
Thế vào phương trình đầu ta được: $x=-\sqrt[3]{\frac{2}{3}},\ y=-\sqrt[3]{18},\ z=-\frac{1}{\sqrt[3]{12}}$.
a: Sửa đề:
\(\left\{{}\begin{matrix}3xy=2\left(x+y\right)\\4yz=3\left(y+z\right)\\5xz=6\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{4}{3}\\\dfrac{x+z}{xz}=\dfrac{5}{6}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{4}{3}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{5}{6}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{y}=1\\\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3};y=1;z=3\)
b: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau,ta được:
\(\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{9}=\dfrac{7x-3y+2z}{7\cdot4-3\cdot3+2\cdot9}=\dfrac{37}{37}=1\)
=>x=4; y=3; z=9
Lời giải:
\((\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2=5^2=25\)
\(\Rightarrow x+y+z+2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})=25\Rightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=\frac{25-9}{2}=8\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz+2\sqrt{xyz}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})=64\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz+10\sqrt{xyz}=64\)
Thay vào PT(3):
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xy}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{64-10\sqrt{xyz}}{xyz}=\frac{3}{2}\)
Đặt \(\sqrt{xyz}=t\Rightarrow \frac{64-10t}{t^2}=\frac{3}{2}\Rightarrow 3t^2+20t-128=0\)
\(\Rightarrow t=4\) (chọn) hoặc \(t=-\frac{32}{3}< 0\) (loại)
\(\Rightarrow \sqrt{xy}=\frac{4}{\sqrt{z}}\)
\(\Rightarrow 8=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=\frac{4}{\sqrt{z}}+\sqrt{z}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=\frac{4}{\sqrt{z}}+\sqrt{z}(5-\sqrt{z})\)
Đặt \(\sqrt{z}=k\Rightarrow 8k=4+5k^2-k^3\)
\(\Rightarrow k^3-5k^2+8k-4=0\)
\(\Rightarrow k^2(k-1)-4(k^2-2k+1)=0\)
\(\Rightarrow (k-1)(k-2)^2=0\Rightarrow k=1; k=2\)
Nếu $k=1$ suy ra $z=1$. Thay vào giải hpt 2 ẩn ta thu được $x=y=4$
Nếu $k=2$ thì $z=4$. Thay vào giải hpt 2 ẩn ta thu được $(x,y)=(4,1)$ và hoán vị
Vậy $(x,y,z)=(4,4,1)$ và hoán vị của nó.
Pt đầu chắc là sai đề (chắc chắn), bạn kiểm tra lại
Với pt sau:
Nhận thấy một ẩn bằng 0 thì 2 ẩn còn lại cũng bằng 0, do đó \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right)\) là 1 nghiệm
Với \(x;y;z\ne0\)
Từ pt đầu ta suy ra \(y>0\) , từ đó suy ra \(z>0\) từ pt 2 và hiển nhiên \(x>0\) từ pt 3
Do đó:
\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2x^2}{x^2+1}\le\dfrac{2x^2}{2x}=x\\z=\dfrac{3y^3}{y^4+y^2+1}\le\dfrac{3y^3}{3\sqrt[3]{y^4.y^2.1}}=y\\x=\dfrac{4z^4}{z^6+z^4+z^2+1}\le\dfrac{4z^4}{4\sqrt[4]{z^6z^4z^2}}=z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\le x\\z\le y\\x\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)
Vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right);\left(1;1;1\right)\)
Lời giải:
$x,y,z>0$ thì $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ mới xác định.
Áp dụng BĐT AM-GM:
$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$. Thay vào pt $(2)$:
$x^3=x^2+x+2$
$\Leftrightarrow x^3-x^2-x-2=0$
$\Leftrightarrow x^2(x-2)+x(x-2)+(x-2)=0$
$\Leftrightarrow (x^2+x+1)(x-2)=0$
Dễ thấy $x^2+x+1>0$ với mọi $x>0$ nên $x-2=0$
$\Rightarrow x=2$
Vậy hpt có nghiệm $(x,y,z)=(2,2,2)$