Question

[Bảo Nguyên]

Đánh số các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần: P₁ = 2, P₂ = 3, P₃ = 5, ... Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên n sao cho P_{n + 1} - P_{n > 10²⁰²¹}

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

Ta cần chứng minh tồn tài hai số nguyên tố liên tiếp mà khoảng cách giữa chúng lớn hơn \(10^{2021}\).

Tổng quát, ta sẽ chứng minh với mọi \(n\)nguyên, luôn có hai số nguyên tố liên tiếp có khoảng cách lớn hơn \(n\).

Xét dãy \(n\)số liên tiếp: \(\left(n+1\right)!+2,\left(n+1\right)!+3,...,\left(n+1\right)!+n+1\).

Với \(2\le k\le n+1\): 

\(\left(n+1\right)!+k⋮k\)mà \(\left(n+1\right)!+k>k\)nên \(\left(n+1\right)!+k\)là hợp số. 

Do đó dãy đã cho gồm toàn hợp số. 

Vậy ta có đpcm.