Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Không có khái niệm hàm số đơn điệu tại 1 điểm x hoặc y nào đó, nên bạn xem lại đề
\(y'=4x^3+3ax^2+2bx\)
\(y'=0\Rightarrow x\left(4x^2+3ax+b\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\4x^2+3ax+b=0\end{matrix}\right.\)
Xét \(g\left(x\right)=4x^2+3ax+b=0\) với \(\Delta=9a^2-16b\)
Hàm số luôn có 1 cực trị là \(x=0\), với \(y\left(0\right)=1\)
Dựa vào hình dáng đồ thị hàm bậc 4, để \(y\) đạt GTNN bằng 1 cũng chính là \(y\left(0\right)\) ta có các trường hợp sau:
- TH1: \(\Delta\le0\Rightarrow9a^2-16b\le0\Rightarrow b\ge\frac{9a^2}{16}\)
Khi đó \(S=a+b\ge a+\frac{9a^2}{16}=\frac{9}{16}\left(a+\frac{8}{9}\right)^2-\frac{4}{9}\ge-\frac{4}{9}\)
- TH2: \(g\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm cùng âm \(x_1< x_2< 0\) và \(y\left(x_1\right)=1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}9a^2-16b>0\\\frac{b}{4}>0\\\frac{-3a}{4}< 0\\x_1^4+ax_1^3+bx_1^2+1=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b< \frac{9}{16}a^2\\b>0\\a>0\\x_1^2+ax_1+b=0\end{matrix}\right.\)
Nói chung ta ko cần tìm tiếp, do \(a;b>0\Rightarrow a+b>0>-\frac{4}{9}\)
TH3: \(g\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm cùng dương \(0< x_1< x_2\) và \(y\left(x_2\right)=1\)
\(\left\{{}\begin{matrix}9a^2-16b>0\\\frac{b}{4}>0\\-\frac{3a}{4}>0\\y\left(x_2\right)=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b< \frac{9}{16}a^2\\b>0\\a< 0\end{matrix}\right.\)
\(y\left(x_2\right)=x_2^4+ax_2^3+bx_2^2+1=1\)
\(\Leftrightarrow x_2^2+ax_2+b=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x_2^2+3ax_2+b=0\\x_2^2+ax_2+b=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow3x_2^2+2ax_2=0\Rightarrow x_2=-\frac{2a}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{4a^2}{9}-\frac{2a^2}{3}+b=0\Rightarrow b=\frac{2a^2}{9}\)
\(\Rightarrow S=a+b=\frac{2a^2}{9}+a=\frac{2}{9}\left(a+\frac{9}{4}\right)^2-\frac{9}{8}\ge-\frac{9}{8}\)
So sánh 2 giá trị \(-\frac{4}{9}\) và \(-\frac{9}{8}\) ta được \(S_{min}=-\frac{9}{8}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=-\frac{9}{4}\\b=\frac{9}{8}\end{matrix}\right.\)
a) Xét phương trình \(f'\left(x\right)=2x^2+2\left(\cos a-3\sin a\right)x-8\left(1+\cos2a\right)=0\)
Ta có \(\Delta'=\left(\cos a-3\sin a\right)^2+16\left(1+\cos a\right)=\left(\cos a-3\sin a\right)^2+32\cos^2a\ge0\) với mọi a
Nếu \(\Delta'=0\Leftrightarrow\cos a-3\sin a=\cos a=0\Leftrightarrow\sin a=\cos a\Rightarrow\sin^2a+\cos^2a=0\) (Vô lĩ)
Vậy \(\Delta'>0\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) và hàm số có cực đại và cực tiểu
b) Theo Viet ta có \(x_1+x_2=3\sin a-\cos a;x_1x_2=-4\left(1+\cos2a\right)\)
\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(3\sin a-\cos a\right)^2+8\left(1+\cos2a\right)\)
\(=9+8\cos^2a-6\sin a\cos a\)
\(=9+9\left(\sin^2a+\cos^2a\right)-\left(3\sin a+\cos a\right)^2\)
\(=18-\left(3\sin a+\cos a\right)^2\le18\)
Đặt \(log_5\left(x+5\right)=a\Rightarrow x+5=5^a\)
\(\Rightarrow a^2-\left(m+6\right)log_25^a+m^2+9=0\)
\(\Leftrightarrow a^2-a\left(m+6\right)log_25+m^2+9=0\)
\(\Delta=\left(m+6\right)^2.log^2_25-4\left(m^2+9\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(log^2_25-4\right)m^2+\left(12log_2^25\right).m+36\left(log_2^25-1\right)\ge0\)
Bấm máy BPT trên và lấy số nguyên gần nhất ta được \(m\ge-2\Rightarrow\) có \(20+2+1=23\) giá trị nguyên của m
- Với \(a=b=0\) thỏa mãn
- Với \(a=0;b\ne0\) hàm bậc 3 ko tồn tại min max (ko thỏa mãn)
- Với \(a< 0\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=-\infty\Rightarrow\) ko tồn tại min f(x) (loại)
\(\Rightarrow a>0\)
\(f\left(0\right)=-3\Rightarrow\) để hàm thỏa mãn yêu cầu thì \(f\left(x\right)\ge-3;\forall x\ne0\)
\(\Leftrightarrow ax^4+bx^3+x^2\ge0\Leftrightarrow x^2\left(ax^2+bx+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ax^2+bx+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Delta=b^2-4a\le0\Leftrightarrow b^2\le4a\)
- Với \(a=1\Rightarrow-2\le b\le2\) có 5 cặp
- Với \(a=2\Rightarrow-2\le b\le2\) có 5 cặp
- Với \(a=3\Rightarrow-3\le b\le3\) có 7 cặp
- Với \(a=4\Rightarrow-4\le b\le4\) có 9 cặp
Vậy tổng cộng có 27 cặp a;b thỏa mãn